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广安市2023—2024学年度下期期末教学质量检侧
高二数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无放。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度和相应所受外力的一组数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25
据此给出以下结论：
①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
4．某种生态鱼在某个池塘一年的生长量（单位：克）服从正态分布，则概率）为（ ）
参考数据：①；②；③
A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759
5．已知函数有大于的极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中，各项系数和与含项的系数分别是（ ）
A．4092，495 B．8188，220 C．4092，220 D．8188.495
7．已知函数的最大值为，令，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（ ）对异面直线
A．174 B．180 C．210 D．368
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列有关样本相关系数，叙述正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．越接近1，表示两变量的线性相关程度越强
D．越接近0，表示两变量的线性相关程度越强
10．在一个大型公司中，技术部门员工占，非技术部门员工占．在技术部门中，有的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工，则下列结论正确的是（ ）
A．抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为
B．抽到的员工持有硕士学位的概率为
C．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为
D．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为
11．对于可以求导的函数，如果它的导函数也是可导函数，那么将的导函数记为．如果有零点，则称其为的“驻点”；如果有零点，则称点为的“拐点”．
某同学对三次函数和进行探究发现，得到如下命题，其中真命题为：（ ）
A．在“驻点”处取得最值
B．一定有“拐点”，但不一定有“驻点”
C．若有3个零点，则
D．存在实数，使得对于任意不相等的两实数都有
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小 ，每小题5分，共15分．
12．已知之间的一组数据：
1 4 9 16
5.5 4 3.5 3
若与满足回归方程，则的值为_____________．
13．第33届冬夏奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行、某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有_____________种（用数作答）。
14．已知函数则关于的方程根的个数为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知的展开式中所有的二项式系数之和为64．
（1）求的值；
（2）求该展开式的常数项．
16．（15分）
设，两个函数的图象如下图所示．
（1）过点作的切线，求的方程；
（2）判断的图象与之间的对应关系，根据这些关系，写出一个不等式，并证明．
17．（15分）
竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
学习竹编次数 0 1 2 3 4 5 6 合计
男 1 3 5 7 9 9 6 40
女 5 6 7 7 6 5 4 40
合计 6 9 12 14 15 14 10 80
（1）若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
性别 学习竹编 合计
后起之秀 先锋
男生
女生
合计
（2）若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为，求的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．（17分）
随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8：若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为．
（1）求的方差；
（2）当为何值时，的值最大？
19．（17分）
已知函数，记．
（1）判断的单调性；
（2）若存在极值点，且，
①求的取值范围；
②求证：．
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．C 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．选对1个得3分，全部选对的得6分，有选错的得0分。
9．AC 10．AD 11．BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．3150 14．31
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．【解析】（1）由题意可得，，解得．
（2），
二项展开式的通项为．
由，得．
所以，展开式的常数项为．
16．【解析】因为，所以．
（1）设切点为，则，
代入得，，解得，
所以．
（2）当时，；当时，；当时，．
所以，在上都是增函数．在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”．
所以，的图象依次是图中的．（只要判断出这个结果就可以了）
根据图象和第（1）的切线，可以写出以下不等式，并给出一个不等式的证明均可．
①；②；③；
下面证明①．
设，则
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以，即，命题得证．
下面证明②；
，
，
当时，，所以为增函数，
当时，，所以为减函数，
所以，即，命题得证．
下面证明③．
即证，
而恒成立，
所以得证．
17．【解析】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 学习竹编 合计
后起之秀 先锋
男生 9 31 40
女生 18 22 40
合计 27 53 80
零假设为：性别与学习竹编情况独立，即性别因素与学习竹编无关；
根据列联表的数据计算可得．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该地区性别因素与学习竹编有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
（2）易知样本中“爱好者”共10名，其中6名男生，4名女生，
所以的所有可能取值为0，1，2，3，
且服从超几何分布：
，
．
故所求分布列为
0 1 2 3
可得．
18．【解析】（1）记“输人的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则，
所以．
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75．
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大．
19．【解析】（1）由题知，
即，则，它为增函数，
当时，在为增函数，
当时，函数的零点，
所以在区间上，，则为减函数，
在区间上，，则为增函数．
（2）（1），
（ｉ）当时，在区间为增函数，
所以为区间的增函数，不符合题意．
（ii）当时，在区间为减函数，
在区间为增函数，
所以，
当时，，此时增函数，无极值点，不合题意，舍去．
当时，
令，
当时，为减函数，
当时，为增函数，
所以，故，
若，则由且在区间为增函数得，在为增函数，
所以，
所以在无零点，即无正数极值点．
若，则由得，
又因为且，
所以存在，使得，
且当为减函数，当为增函数，
所以是极小值点，即存在正数极值点．
综上所述，的取值范围是．
②由（1）知，，则，其中，
，
令，
于是时，单调递增，
时，单调递减，
故在处取得最大值，
故，所以，
所以，．
