成都市区县联考2023-2024学年高一下学期7月期末调研考试
数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面向量，，若，则（ ）
A. B.1 C. D.2
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知非零向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知m，n是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
7.已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形ABCO绕OA旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A.函数的最小正周期是
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于点对称
D.函数在区间上单调递增
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C两点），则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.若，，则
D.若，，则
11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是线段，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.正方体的外接球的表面积为，体积为
C.平面截正方体所得截面的形状是五边形
D.若底面内的动点（包含边界）满足平面，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数是纯虚数，则_______.
13.某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为_______.
14.在直三棱柱中，，，是棱上一动点，则三棱锥的体积为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知向量，.
（1）求的值；
（2）若向量与垂直，求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
17.（15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积；
（3）若，，求中边上的中线长.
18.（17分）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正切值；
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
19.（17分）
已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）在锐角三角形中，若，求的取值范围；
（3）设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围.
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B D B A C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ACD BCD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.6 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）由，，
得，故；
（2）与垂直，
，
，
整理得：，解得；
（3）与的夹角为锐角，
，且与不共线，
即，且，
解得且，
综上：当与的夹角为锐角时，.
16.（15分）
解：（1）证明：连接，
底面是菱形，点为线段的中点，
为中点，为的中位线，，
平面，平面，平面；
（2）证明：平面，平面，
，
底面是菱形，，
平面，，
平面，
平面，平面平面.
17.（15分）
解：（1）在中，由正弦定理得：，
，，，，
由，解得；
（2）在中，由余弦定理得，
得，解得或（舍），
由（1）知，故的面积；
（3）设为的中点，则，
，
解得，即中边上的中线长为.
18.（17分）
解：（1）证明：是边长为2的正三角形，为中点，
，且平面，
又平面平面，平面平面
平面，
又平面，；
（2）由（1）知，，
为二面角的平面角，
底面为正方形，，
在中，，，；
（3）取中点，连接，，
为中点，，
异面直线与所成的角是或的补角，
由（1）知，平面，平面，，
底面是正方形，，
，平面，
平面，，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，
，
异面直线与所成的角的余弦值为.
19.（17分）
解：（1），
由题意知，所以，
又，，
则，
故
；
（2）由得，
，，，，
故，
由是锐角三角形，得，
则，得，
即的取值范围为；
（3）
，
当时，，
令，则，在区间上恒成立，
等价于关于的不等式在区间上恒成立，
即有在区间上恒成立，
又在区间上单调递减，
当时，有最大值，
故有，即的取值范围为.
