人教版九年级数学上册
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质 同步测试
一、单选题
1．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2-4ax＋2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（ ）
A．t≥1 B．t≤0 C．t≥1或t≤0 D．t≥1或t≤-1
2．已知抛物线 ， 其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．抛物线 的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的顶点坐标为（ ）．
A． B． C． D．
5．下列关于二次函数（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而增大；④该函数的图象与函数的图象的对称轴相同．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②④
6．下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数 的最小值是（ ）
A．－3 B．3 C．0 D．
8．关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A．当x＞-2时，y随x增大而减小 B．当x＞-2时，y随x增大而增大
C．当x＞2时，y随x增大而减小 D．当x＞2时，y随x增大而增大
9．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是
B．对称轴是直线
C．顶点坐标为
D．当时，y随x的增大而增大
10．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为（1，0） D．当时，y随x的增大而减小
二、填空题
11．抛物线 的顶点坐标是 .
12．二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜1时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”） ．
13．已知点、为函数的图象上的两点，若，则 （填“>”、“=”或“<”）．
14．如果抛物线不经过第三象限，那么k的值可以是 ．（只需写一个）
15．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝时，函数值为 ．
三、解答题
16．已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积.
17．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值.
18．已知关于x的方程x2﹣2mx+3+4m2﹣6=0的两根为α，β，
试求（α﹣1）2+（β﹣1）2的最大值与最小值．
19．画出函数 的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．
求二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5的顶点坐标．
在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2（x-1）2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点．
23．用配方法把二次函数 化为 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
1．答案:C
解析：解：∵y＝ax2-4ax＋2 =a(x2-4x+4)+2-4a=a(x-2)2+2-4a，
∴二次函数的对称轴是直线x=2，
对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2， 分两种情况：
①当t+1<2时，需满足x=t+3时的函数值不大于x=t+1时的函数值，如图，
∴a(t+3)2-4a(t+3)＋2 ≤ a(t+1)2-4a(t+1)＋2，
解得t≤0；
②当t+1>2时，需满足x=t+2时的函数值不小于x=t时的函数值，
∴a(t+2)2-4a(t+2)＋2 ≥ at2-4at＋2，
解得t≥1；
综上，对于t＜x1＜t＋1，t＋2＜x2＜t＋3，都有y1≠y2，则t≤0或t≥1.
故答案为：C.
分析：先把函数式化成顶点式，求出抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：①当t + 1 < 2时，需满足x = t+3时的函数值不大于x = t + 1时的函数值，②当t+1>2时，需满足x=t+2的函数值不小于x = t的函数值，根据二次函数的性质分别列出不等式求解，然后总结求出t的范围即可.
2．答案:B
解析：解：抛物线y=2（x-3）2-5的对称轴为直线x=3.
故答案为：B.
分析：二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；据此可求解.
3．答案:B
解析：解：抛物线 的对称轴是直线 .
故答案为：B.
分析：抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中对称轴为直线x=h，据此解答.
4．答案:A
解析：解：∵二次函数是顶点式，
∴顶点坐标为（3，0）.
故答案为：A.
分析：二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
5．答案:B
解析：解：由二次函数可知：，抛物线的对称轴为直线，
①由函数可知：，所以该函数的图象与函数的图象形状相同，故符合题意；
②把代入该函数解析式得：，所以该函数的图象一定经过点，故符合题意；
③由抛物线的对称轴为直线，开口向下，所以当时，y随x的增大而增大，故不符合题意；
④由函数可知对称轴为直线，所以该函数的图象与函数的图象的对称轴相同，故符合题意；
∴综上所述：正确的结论有①②④；
故答案为：B．
分析：利用 二次函数的图象与性质计算求解即可。
6．答案:C
解析：解：A、二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；
B、二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；
C、二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；
D、二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意.
故答案为：C.
分析：二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k）；若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限，据此判断即可得出答案.
7．答案:A
解析：解：∵
∴二次函数开口向上，顶点为 ，当 时有最小值-3
故答案为：A.
分析：二次函数(a≠0）中对称轴为直线x=1，顶点坐标（h，k），最值为k，当a＞0，抛物线开口向上，有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，有最大值，据此解答即可.
8．答案:C
解析：解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C符合题意，
故答案为：C．
分析：由于抛物线开口向下，对称轴为x=2，可得当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大，据此逐一判断即可.
9．答案:D
解析：解：对于二次函数的图象，
当x=0时，y=-149，∴图像与y轴交点坐标为（0，-149），A选项说法不符合题意；
抛物线对称轴为直线x=-6，B选项说法不符合题意
抛物线顶点坐标为（-6，-5），C选项说法不符合题意
∵a=-4＜0，∴图像开口向下
当时，y随x的增大而增大，D选项说法符合题意
故答案为：D．
分析：根据抛物线顶点式的图象和性质逐项判断即可。
10．答案:D
解析：解：二次函数的二次项系数为－1，则图象的开口向下，其对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0），当x<1时，y随x的增大而增大，故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
分析：根据二次函数可知图象的开口向下，其对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0），当x<1时，y随x的增大而增大，据此逐一判断即可.
11．答案:(2，5)
解析：解：抛物线 的顶点坐标是（2，5）.
故答案为：（2，5）.
分析：抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
12．答案:减小
解析：解：在平面直角坐标系中画出二次函数y=（x-1）2的示意图如下：
抛物线y=（x-1）2的对称轴为直线x=1，由图象可以看出：
当x＜1时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
分析：画出函数的草图，再结合函数图象直接求解即可。
13．答案:＜
解析：解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线 ，
且开口向下，
∴在对称轴的左侧 随 的增大而增大，
∵，
∴ ．
故答案为：＜
分析：根据题意得出抛物线的对称轴，且开口向下，得出在对称轴的左侧 随 的增大而增大，再根据，即可得出答案。
14．答案:（答案不唯一）
解析：解： 抛物线的开口向上，又不经过第三象限，
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，
而当时，
解得：
所以当时，符合题意，
故答案为：（答案不唯一）
分析：根据抛物线的开口向上，又不经过第三象限，得出抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，当时， 得出k的范围。
15．答案:0
解析：解：二次函数y＝3（x﹣5）2的顶点坐标为，对称轴为
x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
对称轴
当x＝时，函数值为0
故答案为：0
分析：根据二次函数y＝3（x﹣5）2的顶点坐标及对称轴，即可得出答案。
16．答案:解：∵二次函数
∴顶点
∵点 在图像上且在 轴上，即 时 的坐标
∴
∴
∴ 的面积
解析：利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积。
17．答案:解：该抛物线的对称轴为：x＝m；
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小；
当m≥1时，
∵﹣2≤x≤1，当x＝1时，y取得最大值，即
﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝2.
当﹣2≤m≤1时，x＝m时，y取得最大值，即
m2+1＝4，解得：m＝﹣ 或 （不合题意，舍去）；
当m≤﹣2时，x＝﹣2时，y取得最大值，即
﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝﹣ （不合题意，舍去）.
综上所述，实数m的值为2或-
解析：根据抛物线的对称轴直线公式得出该抛物线的对称轴直线为x=m，由二次项系数 a＝﹣1＜0，可知抛物线开口向下，故 当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小； 然后分 当m≥1时， 当﹣2≤m≤1时 ， 当m≤﹣2时 三种情况的最值情况列出方程，求解并检验即可得出答案.
18．答案:解：∵α、β为方程的两个实数根，
∴△=4m2﹣4（3+4m2﹣6）≥0，
解得﹣1≤m≤1；
设u=（α﹣1）2﹣（β﹣1）2=（α+β）2﹣2（α+β）﹣2αβ+2，
且α+β=2m，αβ=4m2﹣3，
∴u=4m2﹣4m﹣2（4m2﹣3）+2
=﹣4m2﹣4m+8
=﹣4 +9，
又∵﹣1≤m≤1，
∴当m=﹣ 时，u取得最大值umax=9，
m=1时，u取得最小值umin=0．
解析：根据关于x的方程x2﹣2mx+3+4m2﹣6=0的两根为α，β， 故该方程根的判别式的值应该不小于0，从而列出不等式求解得出m的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系得出 α+β=2m ①，αβ=4m2﹣3 ②；利用整式的混合运算法则及因式分解将 （α﹣1）2+（β﹣1）2变形为 （α+β）2﹣2（α+β）﹣2αβ+2， 将①与②都代入后再利用配方法配成顶点式，根据所得函数的性质即可解决问题。
19．答案:解：解：函数的图象如图所示，
∵抛物线的开口向上，对称轴为x=6，顶点坐标为（6，3）
当x＞6时，y随x的增大而增大
解析：画出二次函数的图象，结合图象即可得到函数的性质。
20．答案:解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，
∴△=4﹣4（k﹣1）≥0．
∴k≤2．
∵k为正整数，
∴k=1，2；
（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则
x1+x2=﹣2，x1 x2=k﹣1，
当k=1时，方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零；
当k=2时，方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．
k=2符合题意．
二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2，
对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．
解析：（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，可推△≥0，求出k的取值范围，得出k的数值即可；
（2）分别把k的值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
21．答案:解：∵二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5，
∴二次函数的顶点坐标为（3，﹣5）．
解析：利用顶点式表达式的特点求解即可．
22．答案:解：如图，
相同点：开口方向和开口大小相同；
不同点：函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，
再向右平移1个单位长度所得到的，位置不同．
解析：先画图象，函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度所得到的．开口方向和开口大小相同，位置不同．
23．答案:解： ，
= ，
= ，
开口向下，对称轴为直线 ，顶点
解析：二次项系数不为1时，需提取出二次项系数，然后在原式的基础上加上一次项系数的一半的平方再减去一次项系数的一半的平方，可配成y = a ( x + h ) 2 + k 的形式，a<0.开口向下，进而求出对称轴 ，顶点坐标.
