吉林省长春市2024届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是( )
A. B. C. D.
2．南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的( )
A.主视图 B.俯视图 C.左视图 D.右视图
3．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为( )
A. B. C. D.
4．下列运算一定正确的是( )
A. B. C. D.
5．不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是( )
A.若，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
6．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为( )
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
7．如图，在中，O是边的中点.按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；
②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；
③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；
④作直线，交于点M.下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点在函数的图象上.将直线沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数的图象交于点C.若，则点B的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9．单项式的次数是_________.
10．计算：_________.
11．若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是_________.
12．已知直线（k、b是常数）经过点，且y随x的增大而减小，则b的值可以是_________.（写出一个即可）
13．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为_________.（结果保留π）
14．如图，是半圆的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点G，连结.给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是.
上述结论中，正确结论的序号有_________.
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中.
16．2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种.一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等.用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率.
17．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱.合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题.
18．如图，在四边形中，，O是边的中点，.求证：四边形是矩形.
19．某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：，，，）
b.高中部20名学生所评分数在这一组的是：、、、、、、、、.
c.初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
初中部
高中部 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为________；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于分为“非常满意”.
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a、b，则a________b；（填“>”“<”或“=”）
②高中部共有名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数.
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上.
（1）在图①中，四边形面积为2；
（2）在图②中，四边形面积为3；
（3）在图③中，四边形面积为4.
21．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示.
（1）a的值为________；
（2）当时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
22．【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值.
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题.
【问题解决】
如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线.
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为度，线段长度的最小值为________.
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，.是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持.钢丝绳长度的最小值为多少米.
23．如图，在中，，.点D是边上的一点（点D不与点B、C重合），作射线，在射线上取点P，使，以为边作正方形，使点M和点C在直线同侧.
（1）当点D是边的中点时，求的长；
（2）当时，点D到直线的距离为________；
（3）连结，当时，求正方形的边长；
（4）若点N到直线的距离是点M到直线距离的3倍，则的长为________.（写出一个即可）
24．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（c是常数）经过点.点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、，点C的横坐标为，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结、.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当m取不为零的任意实数时，的值始终为2；
（3）作的垂直平分线交直线于点D，以为边、为对角线作菱形，连结.
①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；
②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选D.
2．答案：B
解析：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图.
故选B.
3．答案：D
解析：，
故选：D.
4．答案：C
解析：A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：C.
5．答案：A
解析：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意.
故选：A.
6．答案：A
解析：由题意得：，
千米.
故选：A.
7．答案：D
解析：A.根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B.，
，
一定成立，故B不符合题意；
C.O是边的中点，
，
，
，
一定成立，故C不符合题意；
D.不一定成立，故D符合题意.
8．答案：B
解析：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
，
，，
.
在反比例函数的图象上，
.
将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
，
，
轴，
，
，
，
，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
C点的坐标为，
，，
，
，
.
故选：B.
9．答案：3
解析：单项式的次数是：，
故答案为：3.
10．答案：
解析：
.
故答案是：.
11．答案：
解析：抛物线与x轴没有交点，
没有实数根，
，.
故答案为：.
12．答案：2（答案不唯一）
解析：直线（k、b是常数）经过点，
.
y随x的增大而减小，
，
当时，，
解得：，
b的值可以是2.
故答案为：2（答案不唯一）.
13．答案：
解析：将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，
，即，
点A经过的路径长至少为.
故答案为：.
14．答案：①②③
解析：如图：连接，
D是的中点，
，
，即①正确；
是直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，即②正确；
在和，
，
，
，即，
，即，
，
，
，即③正确；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，，，
，，D是的中点，
，
，
，是等边三角形，
，即是菱形，
，
，
，即，解得：，
，
，
，即④错误.
故答案为：①②③.
15．答案：，2
解析：原式，
，
原式.
16．答案：
解析：列表如下：
A B C
A
B
C
共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，
所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为.
17．答案：共33人合伙买金，金价为9800钱
解析：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：.
答：共33人合伙买金，金价为9800钱.
18．答案：证明见解析.
解析：证明：O是边的中点，
，
在和中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形.
19．答案：（1）
（2）①>；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人
解析：（1）由题意知，高中部评分的中位数为第10，11位数的平均数，即，
故答案为：；
（2）①由题意知，初中部评分的中位数为，高中部评分的中位数为，
，
故答案为：>；
②，
估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为人.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）如图①：四边形即为所求；
（2）如图②：四边形即为所求；
（3）如图③：四边形即为所求；
21．答案：（1）
（2）
（3）没有超速
解析：（1）由题意可得：，解得：.
故答案为：.
（2）设当时，y与x之间的函数关系式为，
则：，解得：，
.
（3）当时，，
先匀速行驶小时的速度为：（千米/时），
，
辆汽车减速前没有超速.
22．答案：问题解决：（1）见解析
（2）30，
方法应用：线段长度的最小值为米
解析：问题解决：（1）证明：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）在等边中，，
，
，
，
；
当时，最小，此时最小，
在中，，，
，
线段长度的最小值为；
方法应用：过点D、M分别作、的平行线，并交于点H，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
线段长度的最小值为米.
23．答案：（1）4
（2）
（3）
（4）或
解析：（1）根据题意可知：，
为等腰三角形，故点D是边的中点时，；
在中，；
（2）根据题意作，如图所示；
当时，则，
设点D到直线的距离为，
，
解得：；
（3）如图，当时，点M落在上，
设，则，，
过点D作于Q，
则，，
，
，
解得：，
故，
所以正方形的边长为；
（4）如图，M，N在异侧时；
设，，则，
三边的比值为，
，
，
，
，
，
当M，N在同侧
设，则，，
三边比为，
三边比为，
设，则，，，
，
解得：，
综上所述：的长为或.
24．答案：（1）
（2）见详解
（3）①；②或或
解析：（1）将代入，
得：，
解得：，
抛物线表达式为：；
（2）过点B作于点H，则，
由题意得：，，
，，
在中，；
（3）①如图，记，交于点M，
由题意得，，
由，
得：对称轴为直线：
四边形是菱形，
点A、C关于对称，，，
与此抛物线的对称轴重合，
，
解得：，
，
，
，
，则，
；
②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，
，
抛物线在菱形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，
菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：
过点F作于点Q，
四边形是菱形，
，
，
，
，
解得：或（舍），
，
当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：
；
当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作于点Q，同上可得，
，
，
解得：或（舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
，
综上所述，m的取值范围为：或或.
