金华市第六中学 2022 学年第一学期高二年级第二次阶段考试
数学试题
选择题部分 （共 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．直线 y x 1的倾斜角为（ ）
π π π 3π
A. B. C. D.
6 4 3 4
2. 在空间直角坐标系O xyz 中，点 P(1, 2,3) 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
A. 1, 2,3 B. 1, 2,3 C. 1, 2,3 D. 1, 2, 3
3．在四面体 OABC 中记OA a ，OB b ，OC c ，若点 M、N 分别为棱 OA、BC 的中点，
则MN （ ）
1 1 1 1 1 1
A. a b c B. a b c
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
C. a b c D. a b c
2 2 2 2 2 2
4．由伦敦著名建筑事务所 Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学
与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线
y2 x2
1(a 0,b 0) 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心
a2 b2
率为 2，则该双曲线的方程为( )
y2 x2 3y2 x2
A. 1 B. 1
12 4 4 4
x2 y2 y2 x2
C. 1 D. 1
4 4 16 4
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5．化学中，将构成粒子（原子 离子或分子）在空间按一定
规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化
学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，
这个基本单位叫做晶胞.已知钙 钛 氧可以形成如图所示的
立方体晶胞（其中 Ti 原子位于晶胞的中心，Ca 原子均在顶点
位置，O 原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF 与 B1E 所
成角的余弦值为（ ）
1 2 1 3
A. B. C. D.
2 2 3 3
6. 已知直线 l： 2ax＋by－r ＝0 与圆 ： 2C x ＋ 2 2y ＝r ，点 A(a，b)，则下列说法错误的是( )
A．若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切
B．若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离
C．若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离
D．若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切
7．已知椭圆C1与双曲线C2 有相同的焦点 F1，F2 ，其中F2 为右焦点，两曲线在第一象限的
1 1
交点为 P ，离心率分别为 e1 ， e2 ．若线段 PF2 的中垂线经过点 F1，则 （ ） e1 e2
A． 2 B． 2 C． 3 D．3
8．2021 年 10 月 16 日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同
一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，
其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连
线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为 2a,2c，下列结论不
正确的是( )
A．飞船向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
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二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求的．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
x2 y2
9．已知曲线C ： 1(mn 0) ，则（ ）
m n
A. 若m n 0，则曲线C 为圆
B. 若mn 0，则曲线C 为双曲线
m
C. 若曲线C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则其离心率e 1
n
n
D. 若曲线C 为焦点在 y 轴上的双曲线，则其渐近线方程为 y x
m
10．正方体 ABCD A1B1C1D1 中，O是正方形 ABCD的中心，则下列说法正确的是（ ）
A. A1O B1D1
B. A1O与平面 ABCD的成角大于60
C. 平面 A1OD1 平面 ABB1A1
1
D. 三棱锥 A A1OD的体积是正方体体积的
12
11. 圆C1 : x
2 y2 2x 6y 6 0 2 2与圆C2 : x y 2x 2y 1 0 相交于 A,B 两点，则
（ ）
14
A. AB的直线方程为4x 4y 5 0 B. 公共弦 AB的长为
8
C. 圆C1与圆C 的公切线长为 7 D. 线段 AB的中垂线方程为 x y 2 02
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12．1675 年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到
两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系 xOy 中，设定
2
点 F1 c,0 ，F2 c,0 ，其中c 0，动点P x, y 满足 PF1 PF2 a（a 0且 a 为常数），
化简可得曲线C ： x2 y2 c2 4c2x2 a4 ，则（ ）
A. 原点O在曲线C 的内部
B. 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 若a c ，则 OP 的最大值为 2a
D. 若0 a 2c，则存在点 P ，使得PF1 PF2
非选择题部分 (共 90 分)
三、填空题: 本题共 4小题,每小题 5分，共 20 分．
13．原点O(0,0) 到直线3x 4y 5 0 的距离为 ▲ .
14．已知直线 l 的一个方向向量 a 1,2,m ，平面 的一个法向量n 1, 2,3 ，若 l ，
则m ▲ .
15．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是
屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作
一个正四棱锥．已知此四棱锥的侧棱长为4 21米，侧面与底面的夹角为 30°，则此四
棱锥相邻两个侧面的夹角的余弦值为 ▲ .
16．定义：曲线C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线C 到直线 l 的距离.已知曲线
C : y x2 a 到直线 l：y x 2 21 的距离等于曲线C2 : x (y 4) 2 到直线 l：y x 的距
离，则实数a ▲ .
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四、 解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（满分 10 分）已知平面上有两点 A( 1,0), B(1,0) 和直线 l : x y+2 0 ．
（1）求过点B(1,0) 的圆 (x 3)2 (y 4)2 4的切线的方程；
（2）动点 P 在直线 l 上运动，求 PA PB 的最小值.
18.（满分 12 分）如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1， AA1 底面 ABC， AA1 AB 3AC，
AB AC， D 为 AC的中点.
（1）证明： B1C //面BA1D ；
（2）若 AB=3，求点B到平面B A D的距离. 1 1
19.（满分 12 分）已知过抛物线C：y2 4x 焦点F 的直线 l 与抛物线C 交于M , N 两点，
点Q 为线段MN 的中点.
（1）求抛物线C 的准线方程；
（2）若 MN =6时，求点Q 的横坐标；
（3）已知点 P 是抛物线C 上的一动点，定点 A 3，2 ，
则当 P 点在抛物线C 上移动时，求 PA PF 的最小值.
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x2 y2
20.（满分 12 分）双曲线 1的左、右焦点分别为F ，过右焦点 且倾斜角为1、F2 F2
3 6
30 的直线交双曲线于 A, B两点.
（1）求弦长 AB ；
（2）若点P是双曲线左支上的点，且 PF1 PF2 12，求点P到 x 轴的距离.
21.（满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 是边长为 2 的菱形，AB
＝ ，∠CBB1＝60°，且∠ABB1＝∠ABC．
（1）证明：AB⊥CB1；
（2）若二面角 A﹣CB1﹣B 的平面角为 60°，求 CA1 与
平面 ACB1所成角的正弦值．
x2 y2
22.（满分 12 分）已知椭圆C : 1(a b 0)的右焦点F 的坐标为 (1,0) ，且椭圆
a2 b2
上任意一点到两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过右焦点F 的直线 l 与椭圆C 相交于 P,Q 两点，点Q 关于 x 轴的对称点为Q1 ，试问
FPQ1的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
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