宁蒗二中2023~2024学年下学期高一第三次月考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知复数且，其中为虚数单位，则（ ）
A.-4 B.-3 C.-2 D.0
2.下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点
C.两条相互垂直的直线 D.两条相互平行的直线
3.在中，已知，则（ ）
A. B. C.或 D.或
4.一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.在连续六次数学考试中，甲 乙两名同学的考试成绩情况如图，则（ ）
A.甲同学最高分与最低分的差距低于30分
B.乙同学的成绩一直在上升
C.乙同学六次考试成绩的平均分高于120分
D.甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学
7.如图所示，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，在正方体中，分别为上的中点，且点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题是假命题的是（ ）
A. B.
C.若，则 D.若，则
10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ）
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果，那么
D.如果，那么与所成的角和与所成的角相等
11.已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（ ）
A.事件与可能相互独立 B.事件与一定不互斥
C. D.
12.在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为__________.
14.已知甲 乙两位射手朝同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.6，甲 乙两位射手的射击相互独立，记“目标未被击中”，则__________.
15.在中，角所对的边分别为，且的外接圆半径为1，若，则的周长为__________.
16.如图，在正三棱柱中，，则直线与直线所成角的正切值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
据第七次全国人口普查的数据显示，中国目前正处于轻度老龄化阶段，解决养老难问题也是政府重要的民生工程.某市共有户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人.为了了解老人们的健康状况，该市从老人中随机抽取600人并对他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理 不健康尚能自理 基本健康 健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，制成如图所示的统计图.
（1）若采用分层抽样的方法从样本中健康状况为不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）试估算该市80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比.
18.（本小题满分12分）
已知向量.
（1）若，且，求；
（2）若与互相垂直，求实数的值.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）证明：.
20.（本小题满分12分）
读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.
男生一周阅读时间频数分布表
小时 频数
9
25
3
3
（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数；
（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；
（3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.
（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）
21.（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，满足，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求边上的中线长.
22.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，是棱上一点，且平面.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
宁蒗二中2023~2024学年下学期高一第三次月考·数学
参考答案 提示及评分细则
1.A ，则.故选A.
2.D 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确.故选D.
3.B 由正弦定理，得，所以.
因为，所以或.
因为，根据三角形中大边对大角可知，所以.故选B.
4.C 根据勾股定理可得球的半径为4，则球的体积为.
5.A 假设二种玩偶分别为，则买3个盲盒，出现的玩偶为，共八种，集齐2种的概率为.故选A.
6.C 由图可知，C正确，B错误，且由于甲同学成绩波动较大，则甲同学六次成绩方差大，所以D错误.
7.B 由题可知点在上，.故选B.
8.C 如图所示，作交于点，作交于点，连接，平面平面，又点是正方形内的动点，点在线段上，即轨迹.
9.CD ，A正确，，B也正确，对于虚数不能比较大小，C错误，当时，，所以D错误.
10.BCD 对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设为直线为直线，四边形所在的平面为，四边形
所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；
B正确，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由
知，从而；
由平面与平面平行的定义知，如果，那么，C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确.
故选BCD.
11.BCD 由，可知事件与不是相互独立事件，故A不正确；
由，可知事件与一定不互斥，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
12.AD 对于，所以有两解，故A正确；
对于B，，所以有一解，故B错误；
对于C，.只有一解，故C错误；
对于D，有两解，故D正确.故选AD.
13. 由，得，即，
因为，所以，所以，
所以向量与的夹角为.
14.0.92 由题意知，.
15. 因为，所以，所以的周长为.
16. 连接交于点，作点为的中点，连接，则与所成的角等于与所成的角，在中，.
17.解：（1）根据分层抽样的知识，80岁及以上老人应抽取（人），
80岁以下老人应抽取（人）；
（2）在600人中，80岁及以上老人的占比为，
因为户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人，
所以80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比估值为.
18.解：（1），
因为，设，则解得或
故或；
（2），
因为与互相垂直，所以，整理得，
解得或.
19.证明：（1）在四棱锥中，分别为的中点.
取的中点，连接，
，且，
四边形是矩形，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，所以，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，
平面平面，
平面，且，
平面，
平面，
由（1）得，
.
20.解：（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3.
设女生一周阅读时间的分位数为，则，
解得；
（2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数；
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数.
所以估计总样本的平均数；
（3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有（人）.
若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，女生有5人，记为，则样本空间，，共有15个样本点.
记事件“恰好一男一女”，则，共有5个样本点，
故所求概率.
21.解：（1），
由正弦定理得，
由，得，
又由，得，
由余弦定理得，又，
由，得；
（2）由（1）得，
设的中点为，则，
在中，由余弦定理得，
所以边上的中线长为.
22.（1）证明：在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）解：由（1）知，，
平面平面，又平面，
平面，又平面，又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，即，解得，
设直线与平面所成的角为，则.
