白山市第七中学2023~2024学年度下学期期中考试·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.B:O是正△ABC的中心，向量OA.O,O心分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
∴.O到三个顶点的距离相等AO1=BO=Cδ1，但向量AO,B0,C⑦不是相同向量，也不是共线向量，也不
是起点相同的向量，故选B.
2.A设=a十bi(a,b∈R),所以+2=a十bi+2(a-i)=3a-i=3+4i,所以a=1,b=-4,所以之=1一
4i.故选A
3.D若直线1⊥平面a,则1与平面α内的任意一条直线都垂直.
4.D
b
理奇=B,得1一8inB·辨待nB-2
5,C由正弦定理a
21
2
因为a
4
故此三角形有两解，故选C.
6.C由a⊥b,有a·b=0,|2a-b=(2a-b)=4a2-4a·b+1b|=4×4+1=17,
.|2a-b=√17.故选C.
7.A因为beos C=ccos B,由正弦定理得sin Bcos C=sin Ccos B,所以sin(B-C)=0,B=C.故选A.
8.C如图所示，作C,G∥DE交BB1于点G,作CH∥CF交A1B,于点H,连接HG
D
CH∩CG=C,CG∥DE,CH∥CF,.平面CGH∥平面CDEF,又，P点是
正方形ABBA:内的动点，∴点P在线段HG上，即轨迹HG=EF=√.
9.CD|一i=√2十（一1）=√5，A正确，221=i1=i,B也正确，对于虚数不能比较大
小，C错误，当z=i时，z2=一1<0，所以D错误.
10.BCD对于A,可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设AA'为直线m,CD为直线，四边形ABCD所在的平面为a,四边形ABCD'
D
所在的平面为B,显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥3不成立：
B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面a相交于直线(，则（∥n,由m⊥a
知m⊥l,从而m⊥n:
由平面与平面平行的定义知，如果a∥B,m二a,那么m∥3，C正确：
由平行的传递性及线面角的定义知，如果m∥，a∥B,那么m与Q所成的角和n与3所成的角相等，D正确.
故选BCD.
【高一数学参考答案第1页（共4页）】
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1.ACD如图所示osC=10=号，C∈(0受)∠C=30,∠B=30,∠A
20
120,所以A是正确的：S=号·Fsim0=号×400sin0=20sin0<20,所以最大面ge
积应为200cm,所以B是错误的：设外接球的球心为O,则OA=OB=R,R=(10
√/3)2+(10一R)2,R=20,可见球心在AD延长线上，S=4πR2=4π·400=1600πcm2,所以C正确：设O是
内切球的球心，则OE=OB,∠OBD=15°，BD=10√3，得到最大半径为(20v3一30)cm,所以D是正确的.
12.10
2
由年，=2-有=2-0+1+2，可得-0=1+2，有=-=一++器
1-i
(1+i)(1-i)
=-去=之-可得1=四
2
2
13.150°由(a+b)⊥b,得(a+b)·b=0,即a·b+b=0,
因为1a=2,b=3,所以a·b=-3,所以cos
a·b=-3=-5
2·
所以向量a与b的夹角为150.
14.324将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.所以S=6×11一
号×(5+3)×3=54（平方米）.所以该预制件的体积V=Sm·A=54×6=324(立方米).故浇制-个这样
的预制件需要约324立方米的混凝土.
15.解：(1)当复数之为实数时，有m2一21=0，.m=0或m=2.……6分
m2一5m十6=0
(2)当复数z为纯虚数时，有
,解得m=3…13分
m2一2m≠0
16.解：(1)由正弦定理有3 sin Asin B=5 sin Asin Be0sC………4分
因为sinA>0,sinB>0,可得cosC=
子””””"”””
……7分
(2)由1知，sinC=snA=n(a-C）-号(cosC+sinO=
10
……11分
72
故有a=inA=10=7②
c sin C
…15分
4
8
17.(1)证明：如图，取AB的中点F,连EF,CF
:AE=EB,AF=FB.'EFAA…
2分
CD=CC.AA=CC.:.EF4CD
.四边形DEFC为平行四边形..DE∥CF
5分
,DE丈平面ABC,CFC平面ABC,CF∥DE
【高一数学参考答案第2页（共4页）】
24658A白山市第七中学2023~2024学年度下学期期中考试
高一数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡
上作答：字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
1.设点O是正三角形ABC的中心，则向量AOBò，Cδ是
A.相同的向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
2.已知复数g满足g十2=3+4i(i是虚数单位)，则g
A.1-4i
B.6-4i
C.6-2i
D.3-2i
3.若直线（⊥平面《，则下列说法正确的是
A.(仅垂直平面a内的一条直线
B.!仅垂直平面内与1相交的直线
C.l仅垂直平面a内的两条直线
D.l与平面a内的任意一条直线垂直
4.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它
们是否相交，就知道它们是否合格，工人师傅运用的数学原理是
A.直线及直线外一点确定一个平面
B.两条平行直线确定一个平面
C,四点确定一个平面
D.两条相交直线确定一个平面
5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2V2,b=4,A=,则此三角形
A.无解
B.有一解
C.有两解
D.解的个数不确定
6.已知向量a,b,且a=2,b=1,a⊥b,则|2a-b=
A.8
B.9
C.√17
D.15
7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=ccos B,则△ABC为
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
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8.如图所示，在正方体ABCD一ABC,D1中，E,F分别为AA:,AB上的中
点，且EF=√3，P点是正方形ABB1A1内的动点，若CP∥平面CD1EF,
则P点的轨迹长度为
D
A.23
B.3π
B
C.3
D.π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.下列命题是假命题的是
A.|2-il=√5
B.i2021 =i
C.若a>b,则a十i>b十i
D.若x∈C,则z2≥0
10.已知a,3是两个不重合的平而，，n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是
A.如果m⊥，m⊥a,n∥3，那么a⊥3
B.如果m⊥&，n∥a,那么m⊥n
C.如果a∥3，Ca,那么m∥3
D.如果m∥，a∥B,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等
11.如图为清代官员夏日所用官帽、凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式.材料多为藤、竹制
成.外裹绫罗，多用白色，也有用湖色、黄色等.不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和
帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量.现有一个官帽，帽坡长20cm,帽底宽20√3cm,
关于此官帽，下面说法正确的是
A.官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120°
B.过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为100√3cm
C.若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600πc
D.此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为(20v3一30)cm
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知i是虚数单位，复数：满足年=2-i,则复数x的模为
13.已知平面向量a,b满足|a=2,b=√3，且(a+b)⊥b,则向量a与b
的夹角为
14.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的
四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的
预制件需要
立方米混凝土（钢筋体积略去不计）.
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