浙江省金华市2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数z满足,则z的虚部为( )
A. B.1 C. D.-i
2．数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第75百分位数为( )
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
3．已知向量,,且,则（ ）
A. B. C. D.
4．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5．如图,为水平放置的的直观图,其中,,则在原平面图形中AC的长为( )
A. B.3 C. D.
6．在中,点D是线段AC上靠近A的一个三等分点,点E是线段AB的中点,则( )
A. B. C. D.
7．在正方体中,M,N,P,Q分别是棱,,AB,的中点,则( )
A.PN与QM为异面直线
B.与MN所成的角为45°
C.平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形
D.点,到平面PMN的距离相等
8．为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．某市举办了普法知识竞赛,从参赛者中随机抽取1000人,统计成绩后,画出频率分布直方图如图所示,则( )
A.直方图中x的值为0.030B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分
C.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分D.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分
10．已知函数,则( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数在区间上单调递增
C.函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D.函数在区间上恰有3个零点
11．如图1,在等腰梯形ABCD中,,,E为CD中点,将沿AE折起,使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内）,连接PB,PC（如图2）,则在翻折过程中,下列说法正确的是( )
A.平面PAE B.
C.存在某个位置,使平面PAE D.PB与平面ABCE所成角的取值范围为
三、填空题
12．函数（且）的图象恒过定点A,且点A在幂函数的图象上,则____________.
13．如图,某山的高度m,一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为,地面上A处的俯角为,若,则此无人机距离地面的高度PQ为________m.
14．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上,,是边长为6的正三角形,E为SA的中点,直线CE,SB所成角为90°,则球O的表面积为_____________.
四、解答题
15．已知平面向量,,,,且与的夹角为.
（1）求;
（2）若与垂直,求的值.
16．已知函数.
（1）当时,求在上的最值;
（2）设函数,若存在最小值为-11,求实数a.
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足,
（1）求证：;
（2）求cosB的值.
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,,,,点N在棱PC上,平面平面.
（1）证明：;
（2）若平面,求三棱锥的体积;
（3）若二面角的平面角为,求.
19．五一假期,杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机,希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图,为简化模型,假设广场形状为正方形,边长为1,已知相机架设于A点处,其可捕捉到图像的角度为45°,即,其中P,Q分别在边BC,CD上,记.
（1）设AC与PQ相交于点R,当时,
（ⅰ）求线段DQ的长;
（ⅱ）求线段AR的长;
（2）为节省能源,小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能,为使相机能够捕捉到的面积（即四边形APCQ的面积,记为S）最大,应取何值？S的最大值为多少？
参考答案
1．答案：A
解析：由,得,
所以z的虚部为,
故选：A.
2．答案：C
解析：易知,则该组数据的第八个数8为第75百分位数.
故选：C
3．答案：D
解析：由知,,所以.
所以.
4．答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意可得：，解得，
则圆锥的高，
所以此圆锥的体积为.
故选：B.
5．答案：C
解析：在直观图 中,,,取 中点D,连接,
则, 而,于是,,
由斜二测画法规则作出,如图,
则,,,,
,,,
显然,AD正确,BC错误.
故选：AD.
6．答案：A
解析：因为在中,点D是线段上靠近A的一个三等分点,点E是线段的中点,
所以
故选：A.
7．答案：D
解析：
8．答案：B
解析：分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示：
正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有，
俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离与正视图中的OA相等，设半球半径为R，已知小球半径r=1，所以，，，.
半球面形状的容器的容积是.
故选：B
9．答案：AC
解析：
10．答案：BCD
解析：,对称中心纵坐标为1,A错.
,则, 的一个单调增区间为,
而, 在,B对.
为偶函数,C对.
,则,或,
或,,;,;,,
在有三个零点,D对,
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：
12．答案：
解析：函数中, 时,故图象恒过定点,代入幂函数,
则,故.
13．答案：200
解析：根据题意,在中,,,所以,
在中,,,
所以,
由正弦定理,得,即,
在中,.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）2
（2）-4
解析：（1）由题意,
（2）由题意得
所以,即有
16．答案：（1）最小值-1,最大值0
（2）6
解析：（1）令,
,,
所以当,时,有最小值-1
当,时,有最大值0.
（2）
,,
当对称轴即时：,解得（舍）
当对称轴即时：,解得
综上：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,有
,
当时,等式显然不成立,所以
（2）由正弦定理推出
且（1）得,即
所以,
即,,
18．答案：（1）见解析
（2）
（3）2
解析：（1）面面,面面,,面
面
又面,
（2）面,面,面面,
,可知N为PC中点
（3）由题意知面,过点N作PB平行线交BC于点H
面,再作（K为垂足）
为二面角的平面角,
不妨设,,且,
19．答案：（1）（ⅰ）（ⅱ）
（2）
解析：（1）（ⅰ）
（ⅱ）在中,有,又,解得
（2）
当且仅当时,.
