陕西省榆林市2024届高三一模数学（文）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．设集合，，则( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,,则( )
A. B. C.2 D.-2
4．在等比数列中,，,则( )
A. B. C.16 D.8
5．某圆锥的侧面积为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.4 C. D.
6．将函数的图像向右平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7．执行如图所示的程序框图，输出的( )
A.18 B.22 C.25 D.
8．已知，，，则( )
A. B.
C. D.
9．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
10．下图是由两个边长不相等的正方形构成的,在整个图形中随机取一点,此点取自,,的概率分别记为,,,则( )
A. B. C. D.
11．如图,设抛物线的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在该抛物线上,点C在y轴上,若,,则( )
A. B. C. D.3
12．已知H是球O的直径上一点,,平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,M为上的一点,且,过点M作球O的截面,则所得的截面面积最小的圆的半径为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________.
14．若x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为______________.
15．已知为奇函数，则________.
16．某网店统计了A商品近30天的日销售量,日销售量依次构成数列,已知,且,则A商品近30天的总销量为_______________.
三、解答题
17．在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，平面平面，求点B到平面的距离.
18．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的周长为6,.
（1）求a的值;
（2）求A的最大值.
19．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，，分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是，请估计该市民能否得到表彰
20．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求a，b；
（2）证明：.
21．已知椭圆经过，两点.
（1）求C的方程；
（2）斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，且点A不在l上，，过点P作y轴的垂线，交直线于点S，与椭圆C的另一个交点为T，记的面积为，的面积为，求.
22．在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数），（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和的极坐标方程；
（2）已知直线，且l与曲线相交于O、A两点，与曲线相交于O、B两点，则当取得最大值时，求k的值.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第三象限.
故选：C.
2．答案：D
解析：依题意得，
则.
故选：D
3．答案：B
解析：由题意可知,则.
故选：B.
4．答案：A
解析：设等比数列的公比为q,
则,即,
由,可得,即,
所以.
故选：A.
5．答案：D
解析：设圆锥的母线长为l,底面半径为r,即侧面展开图的半径为l,侧面展开图的弧长为.
又圆锥的底面周长为,所以,即圆锥的母线长.
所以圆锥的侧面积为,
解得,.
故选：D.
6．答案：B
解析：曲线C为，
又C关于y轴对称，所以，，
解得，，又，
所以当时，的最小值为.
故选：B
7．答案：C
解析：执行该程序框图，，，成立，
，，成立，
，，成立，
，，不满足，
输出的.
故选：C
8．答案：D
解析：因为，所以，
因为，所以，故.
故选：D.
9．答案：B
解析：在上恒成立，即，所以，则a的取值范围是.
故选：B.
10．答案：A
解析：设,,
从而,,
因为,所以,
根据面积型几何概型的概率公式,
可以得到,
,则
故选：A.
11．答案：D
解析：设,,
由,,根据抛物线定义可得,,
故,,
,
过A,B分别作y轴的垂线,过B作x轴的垂线,垂足为E,
明显,
所以.
故选：D.
12．答案：C
解析：如图,设截得的截面圆的半径为r,球O的半径为R,
因为,
所以.由勾股定理,得,由题意得,,
所以,解得,
此时过点M作球O的截面,若要所得的截面面积最小,只需所求截面圆的半径最小.
设球心O到所求截面的距离为d,所求截面的半径为,则,
所以只需球心O到所求截面的距离d最大即可,
而当且仅当与所求截面垂直时,球心O到所求截面的距离d最大,
即,所以.
故选：C.
13．答案：
解析：由题意可知，所以.
故答案为：.
14．答案：12
解析：画出约束条件的可行域,
由,可得,
由,可得,
当目标函数经过时,,
当目标函数经过时,,
故目标函数的最大值为12.
故答案为：12.
15．答案：-6
解析：因为为奇函数，所以，
即，
所以，，故，
即.
故答案为：-6
16．答案：1020
解析：当时,,当时,,
,
中奇数项是公差为2,首项为20的等差数列,
.
A商品近30天的总销量为1020.
故答案为：1020.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为，，O为的中点，
所以，，
又因为平面，，
所以平面.
（2）因为平面平面，且平面平面，，平面，
所以平面，
因为，所以，均为等边三角形，
故，故，
所以，
因为平面，平面，
所以，由勾股定理得，
取的中点H，连接，
在中，，，故⊥，
故，，
设点B到平面的距离为d，所以，解得.
18．答案：（1）2
（2）
解析：（1）,
即.
因为的周长为6,所以,
解得.
（2）由（1）可知.
,当且仅当时,等号成立.
故当时,A取得最大值.
19．答案：（1）68.3；
（2）估计该市民能得到表彰
解析：（1）100份样本数据的平均值为：
（2）成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.77，
则被表彰的最低成绩为，
所以估计该市民能得到表彰.
20．答案：（1），；
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为，.
将代入，解得，即，
由切线方程，则切线斜率.
故，，解得，.
（2）证明：由（1）知，
从而等价于.
设函数，则.
所以当时，，当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为.
设函数，
从而在上的最大值为.
故，即.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）将，代入椭圆方程中，
，
解得
则椭圆C的方程为；
（2）当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意.
设，，由，可得，
所以，
所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
因为点A不在l上，所以，
由化简得，
.
，，
所以
，
则，
整理得，因为，所以，
所以直线l的方程为，恒过点.
由题意和对称性可知，，
设点S到直线l的距离为，点T到直线l的距离为，
22．答案：（1），
（2）
解析：（1）在曲线的参数方程（为参数）中消去参数，
可得，即，
将，代入上式，得.
在曲线的参数方程（为参数）中消去参数，
可得，即，
将，代入上式，得.
所以，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（2）解：由题可设直线l的极坐标方程为，其中，
将代入，得，
将代入，得，
所以，
因为，则，
故当时，即当时，取得最大值，此时.
23．答案：（1）或；
（2）
解析：（1）由函数，
当时，可得，解得，故；
当时，可得，解得，故无解；
当时，可得，解得，故.
故不等式的解集为或.
（2）由函数，
可得，所以，即实数m的取值范围为.
