卢氏县第一高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知复数,则z的虚部为( )
A. B. C.1 D.
2．已知,,则λ是“与的夹角为钝角”的条件( )
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
3．如图,矩形是水平放置的一个平面图形的直观图,其中,,则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
4．已知三棱锥的棱长均为4,先在三棱锥内放入一个内切球,然后再放入一个球,使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
5．已知非零向量，满足，且，则的形状是( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
6．如图所示,在中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若,,则的值为( )
A.2 B.3 C. D.5
7．如图,中,,,.在所在的平面内,有一个边长为1的正方形绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周）,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在直三棱柱中,,,,点P在线段上,则的( )
A.最小值为 B.最小值为
C.最大值为 D.最大值为
10．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且( )
A.若,,则
B.若,,则的面积为
C.若,则A的最大值为
D.若,则周长的取值范围为
11．如图,已知直线,点A是,之间一个定点,点A到,的距离分别为1,2.点B是直线上一个动点,过点A作,交直线于点C,,则( )
A. B.面积的最小值是
C. D.存在最小值
三、填空题
12．如图,已知正三棱柱的底面边长为2cm,高为5cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为___________cm．
13．在中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若,且的面积,则的取值范围是___________.
14．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一,剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠,再上下折叠,然后沿半圆弧虚线裁剪,展开得到最后的图形,若正方形的边长为2,点P在四段圆弧上运动,则的取值范围为____________．
四、解答题
15．如图,四边形是圆柱底面的内接四边形,是圆柱的母线,,,,C是上的动点.
（1）求圆柱的侧面积S;
（2）求四棱锥的体积的最大值.
16．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知．
（1）求角C;
（2）若,求的周长的最大值．
17．某自然保护区为研究动物种群的生活习性,设立了两个相距的观测站A和B,观测人员分别在A,B处观测该动物种群．如图,某一时刻,该动物种群出现在点C处,观测人员从两个观测站分别测得,,经过一段时间后,该动物种群出现在点D处,观测人员从两个观测站分别测得,．（注：点A,B,C,D在同一平面内）
（1）求的面积;
（2）求点之间的距离．
18．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知．
（1）求角A;
（2）若为锐角三角形,求的取值范围．
19．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,对任意两个向量,,作,．当,不共线时,记以,为邻边的平行四边形的面积为;当,共线时,规定．
（1）分别根据下列已知条件求：
①,;
②,;
（2）若向量,求证：;
（3）若A,B,C是以О为圆心的单位圆上不同的点,记,,．
（i）当时,求的最大值;
（ii）写出的最大值．（只需写出结果）
参考答案
1．答案：C
解析：因为,则z的虚部为1,故A,B,D错误.
故选：C.
2．答案：B
解析： ,,
与的夹角为钝角且,
即且.
是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：A
解析：根据矩形是一个平面图形的直观图,其中,,
可得直观图的面积是,
由直观图的面积是原图的面积的倍,原图形的面积是．
故选：A.
4．答案：A
解析：取三棱锥过内切球球心的截面,如图所示：
依题意得,
底面的外接圆半径为,解得;
点P到平面的距离为,
所以,
所以,
设球的半径为R,
所以,
则,得,
设球的半径为,则,又,得,
所以球的表面积为．
故选：A．
5．答案：D
解析：和分别表示向量方向上的单位向量和向量方向上的单位向量，
由，知的平分线与BC垂直，
为等腰三角形，且，
，
又，，
为等边三角形.故选D.
6．答案：A
解析：因为点O是BC的中点,
所以,
又因为,,
所以,
因为O,M,N三点共线,
所以,
所以.
故选:A
7．答案：A
解析：在中,,,,
由余弦定理得,
所以,
又由正方形的边长为1,可得,,
则
,
正方形绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周）,可得,
所以,即的取值范围是.
故选：A.
8．答案：A
解析：如图，在正方体中，分别取正方体的中心O，正方形的中心，连接，，，，分别为，的中点，则，正方体的棱长为，故，可得，根据对称性可知：点O到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O，半径，故该半正多面体外接球的表面积为.故选A.
9．答案：BD
解析：如图展开,其中是斜边为的等腰直角三角形,
是斜边为6的等腰直角三角形．
当,P,B三点共线时,取得最小值．
当P位于C点位置时,取得最大值．
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：因为,所以.
对于A,B,若,则,
,解得,
的面积,A正确,B错误.
对于C,若,则,
,当且仅当时,等号成立,所以A的最大值为,C正确.
对于D,若,则根据三边关系可得即解得,则,的周长为,故周长的取值范围为,D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABC
解析：取中点F,连接,如图,
由,得,因此点A,G,F共线,
且,A正确;
设,由于,,而,则,
由,,得,,显然点G为的重心,
则的面积,
当且仅当,即时取等号,B正确;
,当且仅当,即时取等号,C正确;
由,得,,
因此
,令,则,
而函数在上单调递增,值域为R,所以值域为R,无最小值,D错误.
故选：ABC.
12．答案：13
解析：将正三棱柱沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,
在展开图中,最短距离是六个矩形构成的大矩形对角线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得矩形的长等于,宽等于5,由勾股定理．
故答案为：13．
13．答案：
解析：由,,
又,所以,
,,,
,．
,,
由正弦定理得,
所以
,
因为,所以,所以,
,
．
故答案为：．
14．答案：
解析：如图以、所在直线分别为x、y轴,建立平面直角坐标系,
设点,易知以为直径的左半圆的方程为：,
以为直径的右半圆的方程为：,
点P的横坐标x的取值范围是,
又,,
．
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图：
连接BD,在中,,,,
由余弦定理,得,
所以,设圆柱底面半径为r,由正弦定理,得,
所以,故圆柱的侧面积;
（2）由（1）知,中,,,
由余弦定理,得
,即,
当且仅当时,等号成立,
所以,
因为,又,
所以四棱锥的体积,
,
故四棱锥的体积的最大值为.
16．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）因为,
由正弦定理得,即,
所以,是三角形内角,则;
（2）由（1）,则,
由正弦定理得,,,
,
,则,,
所以．
时,取得最大值．
17．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）在中,,,所以．
由正弦定理：,得,
所以,
,
所以的面积为．
（2）由,,得,且,
．
在中由余弦定理,得,
所以．
即点C,D之间的距离为．
18．答案：（1）;
（2）．
解析：（1）
由正弦定理和余弦定理得,
整理得,,
又A是三角形内角,;
（2）为锐角三角形,则,,,
又,
,
,
,则,,
设,,则,
则,
因此当时,,,,单调递减,当时,,,,单调递增,
,当时,,当或时,,
,
,即．
19．答案：（1）详见解析;
（2）详见解析;
（3）（i）;（ii）．
解析：（1）因为,,
且,
所以;
又,,
是;
（2）因为向量,,
且向量,
则,
所以,
同理,
所以;
（3）（i）设,因为,
所以,
所以,
,
当,即时,
取得最大值;
（ii）的最大值为．
