江苏省射阳中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知随机变量,,则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
2．已知，，且，则( )
A.2 B.3 C. D.
3．过两点、的直线l的倾斜角为,则m的值为( )
A.-2或-1 B.-1 C. D.-2
4．已知二项式中第k项与第m项的二项式系数相等（）,则n的值是( )
A. B. C. D.
5．已知,,则等于( )
A. B. C. D.
6．某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12 B.20 C.36 D.120
7．定义在R上的可导函数满足,若,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知,是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设数列满足：,且对任意的,都有,为数列的前n项和,则( )
A.为等比数列 B.
C.为等比数列 D.
10．有四名男生,三名女生排队照相,七个人排成一排,则下列说法正确的有( )
A.如果四名男生必须连排在一起,那么有720种不同排法
B.如果三名女生必须连排在一起,那么有576种不同排法
C.如果女生不能站在两端,那么有1440种不同排法
D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起,那么有1440种不同排法
11．已知正方体的棱长为1，点E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是( )
A.平面
B.与平面所成角的余弦值为
C.二面角的正弦值为
D.点B到平面的距离为
三、填空题
12．已知服从正态分布,且,则____________.
13．高二（1）班准备组织一场辩论赛,共有六名同学报名参加.将他们随机平均分为两组,其中甲 乙两名同学不在同一组的概率为______________.
14．已知,若函数,对于任意的,总存在,使得则实数m的取值范围是_________________.
四、解答题
15．如图，正方体的棱长为2，E为的中点，点M在上，.
（1）求证：M为的中点；
（2）求直线与平面所成角的大小.
16．已知圆M过,,且圆心M在直线上.
（1）求圆M的标准方程;
（2）过点的直线m截圆M所得弦长为,求直线m的方程;
17．为提高学生学习的数学的兴趣,南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习,已知三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：
（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程,求三人共有多少种不同的选课种数;
（3）若至少有两位同学选择《数学史》,求三人共有多少种不同的选课种数.
18．已知椭圆的离心率为.
（1）证明：;
（2）若点在椭圆C的内部,过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点,为线段的中点,且.
①求直线l的方程;
②求椭圆C的标准方程.
19．数列中,,,设.
（1）求证：数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和;
（3）若,为数列的前n项和,求不超过的最大的整数.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得,所以.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为，，且，所以，
解得.
故选：D.
3．答案：D
解析：因为过两点、的直线l的倾斜角为,
所以,即,解得.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题知 ,所以或,
又因为,所以
故选：A.
5．答案：B
解析：由条件概率公式得.
故选：B.
6．答案：B
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有4种方法，第二步插入第二个新节目，此时有5个空，故有5种方法.因此不同的插法共有种.故选B.
7．答案：B
解析：令,则,故单调递减,
即,得,解得：.
故选：B.
8．答案：A
解析：因为,由双曲线的定义可得,
所以,;
因为,由余弦定理可得,
整理可得,所以,即.
故选：A.
9．答案：BC
解析：依题意,则,
因为,故,所以,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
所以是首项为,公比为的等比数列.
,,
,,,所以不是等比数列.
.
所以AD选项错误、BC选项正确.
故选：BC.
10．答案：CD
解析：A中,如果四名男生必须连排在一起,将这四名男生捆绑,形成一个“大元素”,此时,共有种不同的排法,A选项错误;
B中,如果三名女生必须连排在一起,将这三名女生捆绑,形成一个“大元素”,此时,共有种不同的排法种数,B选项错误;
C中,如果女生不能站在两端,则两端安排男生,其他位置的安排没有限制,此时,共有种不同的排法种数,C选项正确;
D中,如果三个女生中任何两个均不能排在一起,将女生插入四名男生所形成的个空中,此时,共有种不同的排法种数,D选项正确.
故选：CD.
11．答案：ABD
解析：对于AB，以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
正方体的边长为1，，，，，，，
，，所以，，，
因为，所以，即，
因为，所以，即，
又，，平面，所以平面，故A正确；
设平面的一个法向量为，，，
则，即，不妨令，得，，故，
又因为，
设直线与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，如图：
连接，交于O，连接，，，，，，，
因为，O为BD的中点，
所以，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，
又，
故，
所以二面角的正弦值为，故C错误；
对于D，如图：
设点B到平面的距离为d，因为，
所以，，
因为，所以，
所以，即点B到平面的距离为，D正确.
故选：ABD.
12．答案：0.2
解析：ξ服从正态分布,正态密度曲线关于对称,
.
故答案为：0.2.
13．答案：
解析：六名同学随机平均分为两组,共有种方法,
其中甲、乙两名同学不在同一组包含种方法,所以甲、乙两名同学不在同一组的概率.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为任意的,总存在,使得,所以,
,令得,
所以当时,,在单调递减,
当时,,在单调递增,
所以,
当时,,所以,解得;
当时,不合题意;
当时,,所以,解得;
综上,的取值范围是,
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，在正方体中，因为平面，
平面，所以.
因为，，所以，且，，均在同一平面内，
所以，因为E为的中点，所以M为的中点.
（2）在正方体中，，，两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则.于是.
设直线与平面所成的角为，则
因为，所以直线与平面所成角的大小为.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）圆心M在直线上,设圆M的标准方程为：,
圆M过点,,,解得
圆M的标准方程为
（2）①当斜率不存在时,直线m的方程为：,直线m截圆M所得弦长为,符合题意
②当斜率存在时,设直线,圆心M到直线m的距离为
根据垂径定理可得,,,解得
直线m的方程为或.
17．答案：（1）;
（2）48;
（3）10.
解析：（1）三位同学选择课程共有种情况;
三位同学选择的课程互不相同共有种情况,所求概率为;
（2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有种情况,丙有种不同的选择,
所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有种情况;
（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有种不同的情况;
②有三位同学选择《数学史》共有种情况.
综上所述,总共有种不同的选课种数.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）①;②.
解析：（1）,,因此,;
（2）①由（1）知,椭圆C的方程为,即,
当在椭圆C的内部时,,可得.
设点、,则,所以,,
由已知可得,两式作差得,
所以,
所以,直线方程为,即.
所以,直线l的方程为;
②联立,消去y可得.
,
由韦达定理可得,,
又,而,,
,
解得合乎题意,故,
因此,椭圆C的方程为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）2021
解析：（1）将两边都加,得,而,
即有,又,则,,所以数列是首项为,公比为的等比数列;
（2）由（1）知,,则,
,
则,
因此,两式作差得到,
所以;
（3）由（2）知,于是得,则,
因此,,
所以,
所以不超过的最大的整数是2021.
