湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．从含有3件正品,2件次品的产品中随机抽取2件产品,则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为( )
A. B. C. D.
2．已知随机变量X服从正态分布,则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8
3．若函数在处取得极值,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
5．若函数的图象与的图象恰好有四个交点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．某人在n次射击中击中目标的次数为X，且，记，，1，2，…，n，若是唯一的最大值，则的值为( )
A.7 B.7.7 C.8.4 D.9.1
7．已知,,,则( )
A. B. C. D.
8．设函数,若存在实数,,使得,则的最小值为( )
A.e B.2 C.1 D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的命题是( )
A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1
B.
C.用不同的模型拟合同一组数据,则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D.随机变量X服从两点分布,且,设,则
10．甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中,甲赢的概率为0.6,乙赢的概率为0.4,且每局比赛的输赢相互独立.若用M表示事件“甲最终获胜”,N表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”,Q表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是( )
A. B. C.N与Q互斥 D.N与Q独立
11．若直线与曲线,相交于不同两点,,曲线在A,B点处切线交于点,则( )
A. B.
C. D.不存在a,使得
三、填空题
12．已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
P m n
若,则________________.
13．已知函数,若恒成立,则的最小值为______________.
14．从这10个数中随机抽一个数记为X,再从中随机抽一个数记为Y,则_____________.
四、解答题
15．已知命题,不等式恒成立;命题,使成立.
（1）若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
（2）若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数m的取值范围.
16．随着社会经济的发展,越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩,拉动了许多租车公司的业务,某租车公司为继续开拓市场,提升服务质量,迎接暑假旅游旺季的到来,对近5年的暑假的租车业务量（单位：十万元）进行了汇总研究,情况如下：
年份 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
业务量 20 24 36 43 52
经过数据分析,已知年份与业务量具有线性相关关系.
（1）假设2019年为第1年,求第x年的业务量y关于x的经验回归方程,并预测2024年暑假的业务量;
（2）该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研,现将100名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”,评分划分为“好评”和“差评”,整理得到如下数据,请将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验,分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异.
好评 差评 合计
青年 20
中老年 15
合计 45 100
附：经验回归直线方程,其中,
独立性检验中的,其中.
临界值表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．在数列中,,且.
（1）求的通项公式;
（2）令,求数列的前项和.
18．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程;
（2）若不等式对任意恒成立,求实数的最大值;
（3）证明：.（参考数据：）
19．Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现,成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中,后由比利时数学家卡特兰（Catalan,1814-1894）的名字来命名,该数列的通项被称为第个Catalan数,其通项公式为.在组合数学中,有如下结论：由个和个构成的所有数列,,中,满“对任意,都有”的数列的个数等于.
已知在数轴上,有一个粒子从原点出发,每秒向左或向右移动一个单位,且向左移动和向右移动的概率均为.
（1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量X（若粒子第一秒末向左移一个单位,则位置为-1;若粒子第一秒末向右移一个单位,则位置为1）,求X的分布列和数学期望;
（2）记第n秒末粒子回到原点的概率为.
（i）求及;
（ii）设粒子在第n秒末第一次回到原点的概率为,求.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,从含有3件正品,2件次品的产品中随机抽取2件产品,
则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为.
故选：A.
2．答案：D
解析：随机变量X服从正态分布,
则曲线的对称轴为,
由,可得,
则.
故选:D
3．答案：C
解析：因为,所以,
令,得到或,
又因为函数在处取得极值,所以,得到,
故选：C.
4．答案：C
解析：当时,,即在上单调递增,故排除A;
注意到,则为奇函数,故可排除B;
又注意到时,,故可排除D.
故选：C
5．答案：C
解析：当时,,可得,
当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,且,
当时,,可得,
当时,;当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,且,
当时,;当时,,
函数的图象,如图所示,
要使得函数与的图象有4个交点,则,
所以实数a的取值范围为.
故选：C.
6．答案：A
解析：因为，，，1，2，…，n，若是唯一最大值，
则，所以，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以，
因为，，所以，得，
因为n为正整数，所以，
所以，
故选：A.
7．答案：A
解析：因为,
构造函数,则,,,
,令
所以,当,为增函数,当,,为减函数,
所以
因为,又因为,
所以,所以.
故选：A.
8．答案：C
解析：,
存在实数,,使得,即,
,
令,则,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,也是最小值,
,
故在R上单调递增,
所以,
故,
令,,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故,
所以,当且仅当,时,等号成立.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A选项,两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,正确;
对于B选项,,,故B选项错误;
对于C选项,残差平方和越小的模型拟效果越好,故C选项正确;
对于D选项,因为随机变量服从两点分布,且,所以,
因为,所以,故D选项正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A：,
则,A正确;
对于B：,
则,B正确;
对于C：N与Q不可能同时发生,故N与Q互斥,C正确;
对于D：,,,
故,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：对于A：当时,直线与曲线没有两个不同交点,所以,如图1所示,
当直线与曲线相切时,设切点为,则,
所以切线方程为：,代入点解得,此时,所以直线与曲线相切,
所以当时直线与曲线有两个不同的交点,
当时,直线与曲线没有交点,故A正确;
对于B：由已知得,,不妨设,则,
又在点A处的切线方程为：,在点B处的切线方程为,
两式相减得,将,代入得,
因为,所以,即,故B正确;
对于C：要证,即证,即证,因为,所以需证.
令,则,令,则点A、B是与的两个交点,令,
所以,令,则,所以当时,,单调递减,
而,,所以 ,所以时,,所以单调递减,所以,
即,又,所以,
而,所以当时,,单调递增,又,,所以,即,故C错误;
对于D：设直线AM交x轴于C,直线BM交x轴于点D,作轴于点E.若,则,
即,
所以,
化简得,即,
由,可得,
则,即为,
,即有,可得,即,
这与矛盾,故不存在,使得,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：由题意知,由得,
解得,,
故.
故答案为：.
13．答案：-1
解析：由可得,
当时,,故在单调递减,当时,,此时显然不满足题意,
当时,令得,故在单调递增,
令得,故在单调递减,
要使恒成立,则,
故
所以,
记,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
故,故,
当,时等号成立,故最小值为-1,
故答案为：-1.
14．答案：
解析：由题意,可得,,
根据全概率公式知
,
,
,
,
所以
.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）命题,不等式恒成立,为真命题,
则,解得,即实数m的取值范围为.
（2）命题,使成立,
当q为真命题时,
即,解得或,
.
当命题p,q中恰有一个为真命题时,
①p为真命题,q为假命题,即,所以;
②p为假命题,q为真命题,即,所以;
综上可得：.
16．答案：（1）,59.9十万元.
（2）表格见解析,青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.
解析：（1）,,
,
,
,
.
.
时,,
预测2024年暑假的业务量约为59.9十万元.
（2）列联表如下：
好评 差评 合计
青年 20 30 50
中老年 35 15 50
合计 55 45 100
零假设为青年群体和中老年群体对租车服务的评价相互独立.
,
根据小概率值的独立性检验,青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
是公比为2的等比数列.
,
,.
（2）,,
所以.
当n为偶数,
.
当n为奇数
综上：.
18．答案：（1）
（2）-1
（3）证明见解析
解析：（1）,
,,
在处的切线为.
（2）,
,则,所以,
,在上单调递减,
时,,
因为对任意恒成立,所以,,
则,的最大值为-1.
（3）设,
,
在R上单调递增,
,
,使,
在上单调递减,在上单调递增,
,
,
,
.
19．答案：（1）分布列见解析,0
（2）（i）,;（ii）
解析：（1）,,
,,
的分布列如下：
X -3 -1 1 3
P
.
（2）（i）,
（ii）设事件A：粒子在第秒末第一次回到原点,
事件B：粒子第1秒末向右移动一个单位.
,
记粒子往左移动一个单位为,粒子往右移动一个单位为,
以下仅考虑事件.
设第秒末粒子的运动方式为,其中;沿用（1）中对粒子位置的假设X,
则粒子运动方式可用数列表示,
如：1,1,-1,-1表示粒子在前4秒按照右 右 左 左的方式运动.
由粒子在第秒末第一次回到原点,可知
数列的前项中有n个1和n个-1.
,,
粒子在余下秒中运动的位置满足,
即,,
粒子在余下秒中运动方式的总数为,
,又
