2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知一个圆锥底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.电视台有个不同的节目准备当天播出，每半天播出个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为( )
A. B. C. D.
5.函数，的单调增区间为( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，已知，是线段的中点，则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球先从甲箱中等可能地取出个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B.
C. D.
10.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为
C. 若，则 D. 若，则的最大值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某小吃店的日盈利单位：百元与当天平均气温单位：之间有如下数据：
百元
由表中数据可得回归方程中试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元．
13.设随机变量，且，则 ______；若，则的方差为______．
14.已知六棱锥的底面是边长为正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，．
求证：平面；
求直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表：
男性 女性
喜欢
不喜欢
能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关？
在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取人，记其中男性的人数为，求的分布列．
附：
17.本小题分
已知函数，，．
设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
设函数，讨论的单调性．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，点在棱上且与，不重合，平面交棱于点．
求证：；
若为棱的中点，求二面角的正弦值；
记点，到平面的距离分别为，，求的最小值．
19.本小题分
箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为，，，，，直到箱子中的球被摸完为止．
求号球为红球的概率用与表示；
若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求；
若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余的概率．
参考答案
1.
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15.证明：由直棱柱可得：平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，平面，
所以，
又因为，即四边形为正方形，
所以，
又因为，
所以平面；
由可设以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
设，则，
则，，，，，
所以，
由知，，
所以，
记直线与所成角为，
则，
故直线与所成角的余弦值为．
16.解：零假设：喜欢山地自行车项目和性别无关，
由题可得，
由小概率值的独立性检验，可判断成立，
即没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关；
由题可得男性的人数可能取值为：，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
17.解：，，且，
所以曲线在处的切线为，
则，得，
因为与相切，
所以，得舍或；
的定义域为，
则，
因为，
令，得或，
时，，当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，
所以当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，单调减区间为；
时，的单调增区间为，没有减区间；
时，的单调增区间为，，单调减区间为．
18.解：因为，平面，平面，所以平面．
又平面，平面平面，所以．
取中点，连接，如图所示：
因为平面，平面，所以．
在四边形中，，且，
所以四边形为矩形，平面．
又在和中，，，．
所以，所以，所以，，两两垂直．
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，
当为中点时，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，化简得，取．
设平面的法向量为，
则，即，化简得，取．
所以，．
所以二面角的正弦值为．
设，，则，，．
设平面的法向量为，则，即，
化简得，取．
则到平面的距离为，
到平面的距离为，
所以，
设，则，
所以当且仅当，即时取“”，
所以，
所以的最小值为
19.解：设事件：第号球为红球，
则；
根据题意，随机变量的取值为，，，，，，，
从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况；
则，，，，
，，，
所以的分布列为：
；
根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球．
问题：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，
此时的概率为，
同理可得，最后一球为白球的概率为，
最后一球为黑球的的概率为，
将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，
按照比例转化为，红球个、白球个、黑球个进行考查；
问题：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为，
最后一球是黑的概率为，所以问题与问题等价；
不妨令红球为，白球为，黑球为，，则全排列作为概率公式分母，即，
记“红球先于白球和黑球被摸完红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余”为事件，
现在对事件进行分析：
第一类：在首位时，，，全排列，有种可能；
第二类：在第二位时，必须在第三或第四位，，全排列，有种可能；
共种可能．
所以．
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