广州市第二中学 2023 学年第二学期期末考试
高 二 数 学
本试卷共4页，19小题。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。
2．答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的，答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需将答题卡交回。
5.圆台体积公式：V＝(S上＋S下＋)h
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知复数（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．若的展开式中各项系数之和为-128，则展开式中的系数为（ ）
A．-2835 B．945 C．2835 D．-945
5．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7. 当时，函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A． B．1 C．2023 D．2024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．设随机变量服从正态分布，若，则
B．某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大
C．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立
D．将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法
10.已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3
C．的解集为 D．函数的零点个数为7
11.费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线交x轴于点Q，则（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的方程为
C．过点作，垂足为K，则
D．点Q的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．
12. 等差数列中，，则 ．
13. 已知函数，若，，且，则的最小值是 ．
14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第）个班中有个女生，余下的为男生.在这个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
16．（15分）已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）当时，证明：；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
17.（15分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.
18.（17分）已知点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
（3）过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足．
（1）求斜率的取值范围；
（2）证明：点恒在一条定直线上．
19.（17分）对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．
试卷第1页，共3页广州市第二中学 2023 学年第二学期期末考试
高二数学参考答案
一、单项选择题： 1. C 2．A 3．D 4.D 5．D 6. B 7.A 8.A
6.【详解】设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，
由于，
则圆台的高、母线长分别为，，
设外接球的表面积为，圆台表面积为，
由表面积公式知，
则外接球的体积为，圆台的体积为，.故选：B
8.【详解】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，所以，所以，
所以的周期为8．因为，所以，
同理，由，得，
所以，，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，所以，
所以的周期为8，所以，
由，得，
由，得，所以，
所以．故选：A.
二、多选题：9． BCD 10.ABD 11.BD
10.【详解】由题意得，
当时，，得，
令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值点为1，
又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对；
当时，则，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，所以
分别画出和的图象，
得函数的零点个数为3，B对；
令，得或或，
令，得，或，
如图，分别画出的图象，
由图可知：函数的零点个数为7， D 对；
令，则，
故C错；
11.【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，
代入点，可得，所以双曲线方程为，可得，所以离心率为，故A错误，B正确；
因为，设，因为，且为的角平分线，
所以，且，故C错误；
因为，当时，整理得，
则，可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，令，整理得，
又因为，可得，所以点Q的坐标为，故D正确；故选：BD.
三、填空题： 12.60 13. 14.
14【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种；第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：
男男男：种；
女男男：种；
男女男：种；
女女男：种；
所以，第三次取出为男生的方法数：
，
综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率，
所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率，
则，即，可得.
四、解答题：
15．【详解】（1）在中，，
由正弦定理得， 1分 ．2分
又，， 3分
，，，，． 6分
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去）， 11分
的面积为． 13分
16．【解析】（1）由题可得，因为曲线在处的切线方程为，所以 2分 即则．3分
（2）令，则，令，解得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因此，则，故 6分
（3）因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立， 7分
令，，则 10分
由（2）可知当时，恒成立，
令，可得；令，可得，
则在上单调递減，在上单调递增．
因此，则，
故实数的取值范围为． 15分
17. 【解析】（1）在三棱柱中，，，则，
由，，得，
在中，，，，
由余弦定理，
得，，
于是，由平面，平面，得，
而，，平面，因此平面，
又平面，所以， 6分
（2）由（1）知，，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由，，得，
则，，，
于是，，
设为平面的一个法向量，
则，取，得，11分 显然为平面的一个法向量，12分 因此，14分 所以平面和平面夹角的余弦值为. 15分
18.【解析】（1）将点代入双曲线1，可得，解得，所以双曲线的方程为． 2分
（2）设点的坐标为且，则1，即，
又双曲线的两条浙近线分别为，，
则点到两浙近线的距离分别为，，
故，
即点到双曲线的两条浙近线的距离之积为定值．6分
（3）（i）若直线的斜率不存在，此时直线与双曲线右支无公共点，不满足题意，所以直线的斜率存在，7分设直线的方程为，联立方程组整理得，8分
则满足9分
因为恒成立，所以，，
即解得，
所以斜率的取值范围为． 10分
（ii）设，，则，，
设点的坐标为，由可得，13分
整理得，
代入得，解得．
将代入，解得，
则， 16分
所以点恒在一条定直线上． 17分
19. 【解析】（1）是等差数列，
∴设，
令，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的．3分
（2）因为数列是“优分解”的，设，
其中，
则．
当时，
当时，是首项为，公比为的等比数列．8分
（3）一方面，数列是“优分解”的，设，
其中，
由（2）知
因为，
所以．
是首项为2，公比为的等比数列．
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，
是首项为2，公比为的等比数列，
，且，
化简得
即数列是首项，公比为的等比数列．
又，
又
∴解得，
综上所述，． 17分
试卷第1页，共3页
