2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，4cm
C．3cm，5cm，8cm D．8cm，4cm，4cm
2．（4分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正六边形 B．五边形
C．平行四边形 D．钝角三角形
3．（4分）如图，△ABE≌△ACD，下列等式不一定正确的是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAD＝∠CAE C．BE＝CD D．AD＝DE
4．（4分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝33°，则∠CEF的度数是（ ）
A．66° B．49° C．33° D．16°
5．（4分）如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是（ ）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
6．（4分）如图，两个三角形全等，且∠A＝∠D，BC对应FE．则（ ）
A．∠B＝∠E B．∠C＝∠E C．AB对应FD D．△ABC≌△DEF
7．（4分）数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A．B之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接BC并延长，使CE＝BC；连接AC并延长，使CD＝AC，连接DE并测量其长度，DE的长度就是A．B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
8．（4分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC边于点E，ED⊥AB，垂足为D．若△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（4分）如图，AB，CD，EF相交于点O，且被点O平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若一个正多边形的内角是其外角的3倍，则这个多边形是正 边形．
12．（4分）等腰三角形一边长为3cm，一边长为6cm，则这个等腰三角形周长为 cm．
13．（4分）如图，∠A＝∠C，只需补充一个条件： ，就可得△ABD≌∠CDB．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 ．
15．（4分）如图，有6幅条形方格图，每个小方格的边长都是1，那么图中由实线围成的图形属于全等图形的是 （填序号）．
16．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），△AOB与△BOC全等，则点C的坐标是 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，点O是AC的中点．
（1）求证：AF＝BC；
（2）求CD的长．
18．（8分）如图，已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，请补充完整过程，说明△ABC≌△DEF的理由．
∵AB∥DE
∴∠ ＝∠
∵BC∥EF
∴∠ ＝∠ （ 同 理 ）
∵AD＝CF （已知）
∴AD+CD＝CF+CD
即 ＝
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF ．
19．（8分）已知△ABC，以AB边上的点D为顶点作∠BDE＝∠BAC，DE交CB的延长线于点E．若DE＝AC，求证：BE＝BC．
20．（8分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA．求证：OA＝OB．
21．（8分）如图，已知AC，BD相交于点O，BO＝DO，CO＝AO，EF过点O分别交BC、AD于点E、F．
（1）根据所给的条件，写出图中所有的全等三角形；
（2）请说明BE＝DF的理由．
22．（10分）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，AF＝DE，CF＝BE．求证：AF∥DE．
23．（10分）已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD．
（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；
（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF．
24．（12分）在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠EAC＝∠DAB，∠B＝∠D，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC＝70°，求∠BAD的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，n），B（n，m）与坐标原点O在同一直线上，且AO＝BO，其中m，n满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且PA＝PN，PA⊥PN，MB＝MN，求证：BM⊥MN；
（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使CE＝CB，连接BE交AD于点F，恰好有AF+AE＝2，点G是CB上一点，且CG＝1，连接FG，求证：EF＝FG．
2024—2025学年上学期福建初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，4cm
C．3cm，5cm，8cm D．8cm，4cm，4cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐个判断即可．
【解答】解：A．1+2＜4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B．2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
C．3+5＝8，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D．4+4＝8，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
2．（4分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正六边形 B．五边形
C．平行四边形 D．钝角三角形
【考点】多边形；三角形的稳定性．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：正六边形，五边形，平行四边形，钝角三角形中只有钝角三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，是基础题，需熟记．
3．（4分）如图，△ABE≌△ACD，下列等式不一定正确的是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAD＝∠CAE C．BE＝CD D．AD＝DE
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AC，BE＝CD，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD，再逐个判断即可．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，BE＝CD，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
即只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．（4分）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C＝33°，则∠CEF的度数是（ ）
A．66° B．49° C．33° D．16°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由BC平分∠ABE求出∠ABE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝33°，
∴∠ABC＝∠C＝33°．
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠CEF＝∠ABE＝66°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
5．（4分）如图，已知AB＝AC，添加一个条件，不能使△ABF≌△ACE的是（ ）
A．AE＝AF B．∠B＝∠C C．∠AEC＝∠AFB D．CE＝BF
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、若AE＝AF，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“SAS”可证△ABF≌△ACE，故选项A不符合题意；
B、若∠B＝∠C，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，故选项B不符合题意；
C、若∠AEC＝∠AFB，且∠A＝∠A，AB＝AC，由“AAS”可证△ABF≌△ACE，故选项C不符合题意；
D、若CE＝BF，且∠A＝∠A，AB＝AC，无法证明△ABF≌△ACE，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．（4分）如图，两个三角形全等，且∠A＝∠D，BC对应FE．则（ ）
A．∠B＝∠E B．∠C＝∠E C．AB对应FD D．△ABC≌△DEF
【考点】全等三角形的判定；全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据已知条件找到两个全等三角形的对应点，即可得到结论．
【解答】解：∵两个三角形全等，且∠A＝∠D，BC对应FE，
按照规范的书写顺序：对应点写在对应位置上，
∴∠B＝∠F，∠C＝∠E，AB对应DF，△ABC≌△DFE，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意全等的规范书写方式，要求各对应点的位置一致．
7．（4分）数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A．B之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接BC并延长，使CE＝BC；连接AC并延长，使CD＝AC，连接DE并测量其长度，DE的长度就是A．B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】A
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，把实际问题先转化为数学问题是解决问题的关键．
8．（4分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边，判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得出∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′；
③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；
④过点C′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．
在△O′C′D′与△OCD中，
，
∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是边边边．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC边于点E，ED⊥AB，垂足为D．若△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再证明Rt△BED≌Rt△BEC得到BD＝BC，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD+AC+2BC＝12和AD+AC＝6，所以6+2BC＝12，从而得到BC的长．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC，
在Rt△BED和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL），
∴BD＝BC，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+AC+BC＝12，
即AD+AC+2BC＝12，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE＝6，
即AD+EC+AE＝6，
∴AD+AC＝6，
∴6+2BC＝12，
∴BC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．（4分）如图，AB，CD，EF相交于点O，且被点O平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据已知条件AB，CD，EF相交于点O，且被点O平分，可得AO＝BO，CO＝DO，EO＝FO，在根据DF＝CE，BF＝AE，可根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：∵AB，CD，EF相交于点O，且被点O平分，
∴AO＝BO，CO＝DO，EO＝FO，
在△AOE与△BOF中，
∴△AOE≌△BOF（SSS）；
在△COE与△DOF中，
∴△COE≌△DOF（SSS）；
在△AOC与△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
故共有3对全等三角形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定条件是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若一个正多边形的内角是其外角的3倍，则这个多边形是正 八 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】八．
【分析】设正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．
【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2） 180°＝3×360°，
解得：n＝8，
故答案为：八．
【点评】本题考查多边形的内角（和）与外角（和），熟记多边形的内角和公式及外角和为360°是解答的关键．
12．（4分）等腰三角形一边长为3cm，一边长为6cm，则这个等腰三角形周长为 15 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】15．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3＝6，所以不能构成三角形；
当腰为6时，3+6＞6，所以能构成三角形，周长是：3+6+6＝15（cm）．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（4分）如图，∠A＝∠C，只需补充一个条件： ∠ADB＝∠CBD ，就可得△ABD≌∠CDB．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意和图形，可以得到∠A＝∠C，BD＝DB，然后即可写出使得△ABD≌∠CDB需要添加的条件，注意本题答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：∵∠A＝∠C，BD＝DB，
∴添加条件∠ADB＝∠CBD，则△ABD≌∠CDB（AAS），
故答案为：∠ADB＝∠CBD．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 9 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】9．
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E＝BE＝2CE＝6即可求解．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，
∴B'E＝BE＝2CE＝6，
∴BC＝CE+BE＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
15．（4分）如图，有6幅条形方格图，每个小方格的边长都是1，那么图中由实线围成的图形属于全等图形的是 ①⑥、②③⑤ （填序号）．
【考点】全等图形．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】①⑥、②③⑤．
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解答】解：①和⑥是全等形，②③⑤是全等形；
故答案为：①⑥、②③⑤．
【点评】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形形状相同，大小相等．
16．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），△AOB与△BOC全等，则点C的坐标是 （﹣2，0），（2，0），（2，4），（﹣2，4） ．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知点A（2，0），B（0，4），△AOB与△BOC全等，由全等三角形的性质分析点C的位置．点C在X轴时，坐标为（﹣2，0），点C在第一象限时，坐标为（2，4），点C在第二象限时，坐标为（﹣2，4）．点C于A点重合时，坐标为（2，0）．
【解答】
解：如图，由题可知，B点的位置可能在x轴、第一象限、第二象限．因为△AOB与△BOC全等，所以（﹣2，0），（2，0），（2，4），（﹣2，4）．
故填（﹣2，0），（2，0）（2，4），（﹣2，4）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质；同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，本题对学生能力的要求很高．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，点O是AC的中点．
（1）求证：AF＝BC；
（2）求CD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【分析】（1）证明△FOA≌△BOC即可得出结论；
（2）连接FC，易得AF＝CF，在△FDC根据勾股定理易得CD的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
∵∠AOF＝∠COB，OA＝OC，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）解：连接FC，
根据题意得EB 垂直平分AC，
∴AF＝CF，
由（1）知 AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
在△FDC中，∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
18．（8分）如图，已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，请补充完整过程，说明△ABC≌△DEF的理由．
∵AB∥DE
∴∠ A ＝∠ EDF
∵BC∥EF
∴∠ F ＝∠ BCA （ 同 理 ）
∵AD＝CF （已知）
∴AD+CD＝CF+CD
即 AC ＝ DF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF （ASA） ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据平行线的性质可得∠A＝∠EDF，∠F＝∠BCA，再由条件AD＝CF可得AC＝DF，然后在证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF（两直线平行，同位角相等），
∵BC∥EF，
∴∠F＝∠BCA（同 理），
∵AD＝CF（已 知），
∴AD+CD＝CF+CD，
即 AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA ）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．（8分）已知△ABC，以AB边上的点D为顶点作∠BDE＝∠BAC，DE交CB的延长线于点E．若DE＝AC，求证：BE＝BC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】证明过程见解析．
【分析】延长AB到F，使BF＝AD，连接EF．证明△ABC≌△DFE（SAS），由全等三角形的性质得出BC＝FE，∠ABC＝∠DFE，由等腰三角形的判定得出BE＝FE，则可得出结论．
【解答】证明：延长AB到F，使BF＝AD，连接EF．
∴AB＝DF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴BC＝FE，∠ABC＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠EBF，
∴∠DFE＝∠EBF，
∴BE＝FE，
∴BE＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．（8分）如图，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA．求证：OA＝OB．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】利用SAS可证明△ABD≌△BAC，即可得∠ABD＝∠BAC，进而可证明结论．
【解答】证明：在△ABD和△BAC中，
∵，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ABD＝∠BAC，
∴OA＝OB．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明△ABD≌△BAC是解题的关键．
21．（8分）如图，已知AC，BD相交于点O，BO＝DO，CO＝AO，EF过点O分别交BC、AD于点E、F．
（1）根据所给的条件，写出图中所有的全等三角形；
（2）请说明BE＝DF的理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）△ADO≌△CBO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）根据所给的条件即可得图中所有的全等三角形；
（2）利用SAS证明△CBO≌△ADO，可得∠B＝∠D，然后利用ASA证明△BEO≌△DFO，即可说明BE＝DF．
【解答】解：（1）图中所有的全等三角形：△ADO≌△CBO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO；
（2）在△CBO和△ADO中，
，
∴△CBO≌△ADO（SAS），
∴∠B＝∠D，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22．（10分）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，AF＝DE，CF＝BE．求证：AF∥DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】先证△ACF≌△DBE（SSS），再由全等三角形的性质得∠A＝∠D，然后由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AF∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定是解题的关键．
23．（10分）已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD．
（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；
（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠BED，则∠ADE＝∠CED，再证∠ADC＝∠EDC，然后证△ADC≌△EDC（AAS），即可得出结论；
（2）在EC上截取EG＝DF，连接DG，证△BDG≌△BEF（SAS），得DG＝EF，∠BGD＝∠BFE，∠BDG＝∠BEF，再证△ADC≌△GDC（AAS），得AD＝GD，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，
∴∠ADC＝∠EDC∠CED∠ADE，
在△ADC和△EDC中，
，
∴△ADC≌△EDC（AAS），
∴AD＝DE；
（2）在EC上截取EG＝DF，连接DG，如图2所示：
∵BD＝BE，
∴BD+DF＝BE+EG，
即BF＝BG，
在△BDG和△BEF中，
，
∴△BDG≌△BEF（SAS），
∴DG＝EF，∠BGD＝∠BFE，∠BDG＝∠BEF，
∴∠ADG＝∠CEF，∠CGD＝∠AFE，
∵∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，
∴∠ADC∠CEF∠ADG＝∠GDC，∠CAD＝∠CGD，
在△ADC和△GDC中，
，
∴△ADC≌△GDC（AAS），
∴AD＝GD，
∴AD＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明△ADC≌△EDC和△BDG≌△BEF是解题的关键．
24．（12分）在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠EAC＝∠DAB，∠B＝∠D，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC＝70°，求∠BAD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“ASA”可判断△ABC≌△ADE；
（2）先根据全等的性质得到AC＝AE，则∠C＝∠AEC＝70°，再利用三角形内角和定理计算出∠CAE＝40°，
【解答】证明：（1）∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵，
∴△ABC≌△ADE；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∴∠C＝∠AEC＝70°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝40°，
∴∠BAD＝40°．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质．
25．（14分）在平面直角坐标系中，已知点A（m，n），B（n，m）与坐标原点O在同一直线上，且AO＝BO，其中m，n满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且PA＝PN，PA⊥PN，MB＝MN，求证：BM⊥MN；
（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使CE＝CB，连接BE交AD于点F，恰好有AF+AE＝2，点G是CB上一点，且CG＝1，连接FG，求证：EF＝FG．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；平面直角坐标系；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）A（﹣1，1），B（1，﹣1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）利用非负性即可求出m，n的值，可得出A，B的坐标；
（2）如图1，在x轴负半轴上取点Q，使OQ＝OM，连接QA，QP，PM，证△AOQ≌△BOM，△PQA≌△PMN，△QPM为等腰直角三角形，即可推出∠NMP+∠OMB+∠QMP＝90°，可得出结论；
（3）过点B作BH⊥AF交AF延长线于点H，连接EH，证明△EAH≌△FHB，△EFH≌△FBG，由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）解：∵．
∴n﹣1＝0，m+1＝0，
∴n＝1，m＝﹣1，
∴A（﹣1，1），B（1，﹣1）；
（2）证明：如图1，在x轴负半轴上取点Q，使OQ＝OM，连接QA，QP，PM，
∵AO＝BO，∠AOQ＝∠BOM，
∴△AOQ≌△BOM（SAS），
∴∠AQO＝∠BMO，
∴AQ＝BM＝MN，
又∵OQ＝OM，PO⊥QM，
∴PQ＝PM，
又∵PA＝PN，
∴△PQA≌△PMN（SSS），
∴∠QPA＝∠MPN，∠PQA＝∠PMN，
∴∠QPA+∠APM＝∠MPN+∠APM＝90°，
∴△QPM为等腰直角三角形，
∴∠PMQ＝∠PQM＝45°，
∵∠PQA＝∠NMP，∠AQO＝∠OMB，
∴∠PQA+∠AQO＝∠NMP+∠OMB＝∠PQM＝45°，
∴∠NMP+∠OMB+∠QMP＝90°，
∴BM⊥MN；
（3）证明：如图2，过点B作BH⊥AF交AF延长线于点H，连接EH，
∵点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（1，﹣1），
∴H（﹣1，﹣1），
∴AF+AE＝2，AF+FH＝2，
又∵CG＝1，
∴AE＝FH＝BG，AH＝BH＝2，
∵AC⊥y轴，AD⊥x轴，BH⊥AH，
∴∠FHB＝∠EAH，
∴△EAH≌△FHB（SAS），
∴EH＝FB，∠EHA＝∠FBH，
∵AE＝BG，AC＝CG，
∴CE＝CB，
∴∠CEB＝∠CBE，
又∵∠HBE＝∠CEB，
∴∠HBE＝∠EBC，
∴∠FBG＝∠EHF，
在△EFH与△FBG中，
EH＝FB，∠EHF＝∠FBG，FH＝BG，
∴△EFH≌△FBG（SAS），
∴EF＝FG．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
4．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
5．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
6．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
7．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
8．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
11．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
12．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
13．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
14．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
15．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
16．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
