2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）11的倒数是（ ）
A．11 B．﹣11 C． D．
2．（3分）下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式
B．单项式﹣a的系数与次数都是1
C．xy是二次单项式
D．的系数是
3．（3分）若单项式2xm+2nyn﹣2m+2与x3y6是同类项，则mn的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
4．（3分）下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若a+b＜0，0，则下列成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
6．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．若10x＝5，则x＝2
B．若x2＝y2，则x＝y
C．若x（x+1）＝3（x+1），则x＝3
D．若，则x＝y
7．（3分）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共可以画（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图是学习小组设计制作长方体形状的包装盒后的余料，小明同学观察发现它恰好是由7个小正方形组成，现要将它折成一个正方体（小正方形之间至少有一条边相连），需要再剪去1个小正方形，则应剪去的小正方形的编号不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
10．（3分）如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠CDE；④∠C+∠ABC＝180°．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）火星围绕太阳公转的轨道半径长约为230000000km，数据230000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知∠A＝21°36′，则∠A的补角的大小是 ．
13．（3分）如果关于x的方程4x﹣2m＝3x+2和x＝2x﹣3的解相同，那么m＝ ．
14．（3分）如图，∠3和∠9是直线AD、BD被直线AC所截而成的 角；∠6和∠9是直线BC、AC被直线BD所截而成的 角．
15．（3分）有一道数学题：“求代数式（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2的值，其中，y＝2．”粗心的小李在做此题时，把“”错抄成了“x＝3”，但他的计算结果却是正确的，原因为 ．
16．（3分）我校九年级的同学们准备征订2023年的课外杂志．结合各班级的调查结果，发现同学们最喜爱的杂志有以下三种：《读者》、《中学生数理化》和《博物》．经过了解，三种杂志的意向征订数之比依次为5：3：4，其中女生对三种杂志的意向征订数之比依次为7：3：5，男生和女生对三种杂志的意向总征订数之比为7：5．但在实际的征订过程中，数量均发生了变化：其中《读者》杂志的总征订数提升了10%，女生的《中学生数理化》征订数提升了50%，男生的《博物》征订数下降了，男生的《读者》实际征订数恰好是女生的《中学生数理化》实际征订数的2倍，男生的《中学生数理化》实际征订数与女生的《博物》实际征订数之比为7：5．在统计中，发现男生的《博物》实际征订数比女生的《博物》实际征订数多了不少于100本且不大于150本且《博物》的实际总征订数为1320本，则男生与女生对三种杂志的实际总征订数之比为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）老师设计了一个数字游戏：给出一个式子“2×■+8﹣●”，让同学自己出题，并写出答案．
（1）小丽提出问题：若■代表﹣3，●代表5，则计算：2×（﹣3）+8﹣5；
（2）小刚提出问题：若2×■+8﹣●＝1，当■代表﹣1时，求●代表的有理数；
（3）小北提出问题：若■和●所代表的有理数互为相反数，请直接写出使2×■+8﹣●结果为正数的■所代表的有理数（写出一个即可）．
18．（6分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝50°，射线OF平分∠AOC，求∠AOF的大小．
20．（8分）化简：
（1）3x﹣2y+1+3y﹣2x﹣5；
（2）（2x4﹣5x2﹣4x+3）﹣（3x3﹣5x2﹣4x）．
21．（8分）解方程：
（1）5x﹣x＝3（x﹣2）+4；
（2）．
22．（9分）已知：点A、B、C在同一条直线上，线段AB＝9，BC＝2，点D是线段AB的三等分点，求线段CD的长．
23．（9分）如表1是2024年1月的日历表；
表1
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
表2
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34
35 36 37 38 39 … …
（1）在表1中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 ；
（2）在表1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为68，则这五个数字中最大的数为 ；
（3）在表1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如表2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2025吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字；若不能，请说明理由．
24．（10分）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：|a+5|+|b﹣5|+（c﹣nb）2＝0，n为正整数．（1）判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由．
（2）设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动t秒．
①当AC＝BC时，试说明，并写出推理过程；
②在①的前提下，若点C继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数k，使得BC﹣kAC的值与t无关？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，已知∠1＝∠3，CD∥EF，求证AB∥EF．
2024—2025学年上学期长沙初中数学七年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）11的倒数是（ ）
A．11 B．﹣11 C． D．
【考点】倒数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，即可解答．
【解答】解：11的倒数是，
故选：D．
【点评】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，解题的关键是掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）下列语句中错误的是（ ）
A．数字0也是单项式
B．单项式﹣a的系数与次数都是1
C．xy是二次单项式
D．的系数是
【考点】单项式．
【专题】整式；数感．
【答案】B
【分析】根据单项式系数和次数的定义判定即可．
【解答】解：A、数字0也是单项式，正确，不符合题意；
B、单项式﹣a的系数﹣1，次数是1，错误，符合题意；
C、xy是二次单项式，正确，不符合题意；
D、的系数是，正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式，解答本题的关键是掌握单项式系数和次数的定义，属于基础题．
3．（3分）若单项式2xm+2nyn﹣2m+2与x3y6是同类项，则mn的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值，代入即可得出答案．
【解答】解：∵单项式2xm+2nyn﹣2m+2与x3y6是同类项，
∴m+2n＝3，n﹣2m+2＝6，
∴n＝2，m＝﹣1，
∴mn＝（﹣1）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项中的两个相同是解答本题的关键．
4．（3分）下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；数感．
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：A．当m＝0时，两边不相等，故本选项不符合题意；
B．当a＝2，b＝1时，，，此时两边不相等，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D．当a＝2，b＝1，m＝3时，，，此时两边不相等，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等式的基本性质，能熟记等式的基本性质是解此题的关键．
5．（3分）若a+b＜0，0，则下列成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
【考点】有理数的除法；有理数的加法．
【专题】计算题；实数．
【答案】C
【分析】利用有理数的加法与除法法则判断即可．
【解答】解：∵a+b＜0，0，
∴a与b同号，且同时为负数，
则a＜0，b＜0，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的除法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．若10x＝5，则x＝2
B．若x2＝y2，则x＝y
C．若x（x+1）＝3（x+1），则x＝3
D．若，则x＝y
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据等式的性质解决此题．
【解答】解：A．根据等式的性质，由10x＝5，得x，那么A不正确．
B．根据等式的性质，由x2＝y2，得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝0，故x＝y或x＝﹣y，那么B不正确．
C．根据等式的性质，由x（x+1）＝3（x+1），得x＝3或x＝﹣1，那么C不正确．
D．根据等式的性质，由，得x＝y，那么D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
7．（3分）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共可以画（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，即可看出答案．
【解答】解：如图，经过其中任意两点画直线可以画3条直线或1条直线，
故选：D．
【点评】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有x个人，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设共有x人乘车，根据“每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘”，结合车的数量不变，即可列出关于x的一元一次方程．
【解答】解：设有x个人，
根据题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（3分）如图是学习小组设计制作长方体形状的包装盒后的余料，小明同学观察发现它恰好是由7个小正方形组成，现要将它折成一个正方体（小正方形之间至少有一条边相连），需要再剪去1个小正方形，则应剪去的小正方形的编号不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【考点】展开图折叠成几何体．
【专题】几何图形；展开与折叠；几何直观．
【答案】D
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
【解答】解：根据只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图，应剪去的小正方形的编号不能是6．
故选：D．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．
10．（3分）如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠CDE；④∠C+∠ABC＝180°．
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【解答】解：①∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，即可证AB∥CD，故此选项符合题意；
②∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行，可证得BC∥AD，不能证AB∥CD，故此选项不符合题意；
③∠A＝∠CDE，根据同位角相等，两直线平行，即可证得AB∥CD，故此选项符合题意；
④∠C+∠ABC＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD，故此选项符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）火星围绕太阳公转的轨道半径长约为230000000km，数据230000000用科学记数法表示为 2.3×108 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】2.3×108．
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【解答】解：230000000＝2.3×108．
故答案为：2.3×108．
【点评】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）已知∠A＝21°36′，则∠A的补角的大小是 158°24′ ．
【考点】余角和补角；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】158°24′．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝21°36′，
∴∠A的补角＝180°﹣21°36'＝158°24′．
故答案为：158°24′．
【点评】本题考查了补角的定义．解题的关键是掌握补角的定义，要注意度、分、秒是60进制．
13．（3分）如果关于x的方程4x﹣2m＝3x+2和x＝2x﹣3的解相同，那么m＝ ．
【考点】同解方程．
【专题】方程思想；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出方程x＝2x﹣3的解，再把方程的解代入方程4x﹣2m＝3x+2中，求出m．
【解答】解：方程x＝2x﹣3的解为x＝3，
∵方程4x﹣2m＝3x+2和x＝2x﹣3的解相同，
∴方程4x﹣2m＝3x+2的解为x＝3，
当x＝3时，12﹣2m＝9+2，
解得m．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法及方程的同解的含义．理解同解方程是解决本题的关键．
14．（3分）如图，∠3和∠9是直线AD、BD被直线AC所截而成的 同位 角；∠6和∠9是直线BC、AC被直线BD所截而成的 同位 角．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形解答．
【解答】解：如图，∠3和∠9是直线AD、BD被直线AC所截而成的同位角；∠6和∠9是直线BC、AC被直线BD所截而成的同位角．
故答案为：同位、同位．
【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，属于三线八角的问题，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系是解决此类问题的关键．
15．（3分）有一道数学题：“求代数式（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2的值，其中，y＝2．”粗心的小李在做此题时，把“”错抄成了“x＝3”，但他的计算结果却是正确的，原因为 原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果 ．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果．
【分析】去括号，合并同类项后，观察运算结论即可得出结论．
【解答】解：∵（x2+2y2）+3（x2+y2）﹣4x2
＝x2+2y2+3x2+3y2﹣4x2
＝5y2，
∴原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果，
故答案为：原式化简后为5y2，跟x的取值没有关系，因此不会影响计算结果．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，正确利用去括号法则和合并同类项的法则解答是解题的关键．
16．（3分）我校九年级的同学们准备征订2023年的课外杂志．结合各班级的调查结果，发现同学们最喜爱的杂志有以下三种：《读者》、《中学生数理化》和《博物》．经过了解，三种杂志的意向征订数之比依次为5：3：4，其中女生对三种杂志的意向征订数之比依次为7：3：5，男生和女生对三种杂志的意向总征订数之比为7：5．但在实际的征订过程中，数量均发生了变化：其中《读者》杂志的总征订数提升了10%，女生的《中学生数理化》征订数提升了50%，男生的《博物》征订数下降了，男生的《读者》实际征订数恰好是女生的《中学生数理化》实际征订数的2倍，男生的《中学生数理化》实际征订数与女生的《博物》实际征订数之比为7：5．在统计中，发现男生的《博物》实际征订数比女生的《博物》实际征订数多了不少于100本且不大于150本且《博物》的实际总征订数为1320本，则男生与女生对三种杂志的实际总征订数之比为 22：17． ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】22：17．
【分析】通过设置适当的未知数，把意向征订数之比转化为具体数量，用字母表示，再根据题目条件列出变化后的征订数，最后通过等量关系列出方程，然后解出方程，最后求出男生与女生对三种杂志的实际总征订数即可得出答案．
【解答】解：∵《读者》、《中学生数理化》和《博物》
三种杂志的意向征订数之比依次为5：3：4，
∴可设三种杂志的意向征订数依次为：5k，3k，4k，
∴三种杂志意向总征订数为：5k+3k+4k＝12k，
∵女生对三种杂志的意向征订数之比依次为7：3：5，
∴可设女生对三种杂志的意向征订数依次为：7x，3x，5x，
∴女生对三种杂志的意向总征订数为：7x+3x+5x＝15x，
∴男生对三种杂志的意向总征订数为：12k﹣15x，
又∵男生和女生对三种杂志的意向总征订数之比为7：5，
∴（12k﹣15x）：15x＝7：5，
解得：k＝3x，
∴三种杂志的意向征订数依次为：15x，9x，12x，
∵实际征订时，《读者》杂志的总征订数提升了10%，
∴《读者》杂志的实际总征订数为：3x×（1+10%）＝16.5x，
∵实际征订时，女生的《中学生数理化》征订数提升了50%，
∴女生的《中学生数理化》实际总征订数为：3x×（1+50%）＝4.5x，
∵实际征订时，男生的《博物》征订数下降了，
∴男生的《博物》实际总征订数为：（12x﹣5x）×（1）＝6x，
又∵男生的《读者》实际征订数恰好是女生的《中学生数理化》实际征订数的2倍，
∴男生的《读者》实际征订数为：4.5x×2＝9x，
∵男生的《中学生数理化》实际征订数与女生的《博物》实际征订数之比为7：5．
可设男生的《中学生数理化》实际征订数为7y，女生的《博物》实际征订数为5y，
∵男生的《博物》实际征订数比女生的《博物》实际征订数多了不少于100本且不大于150本，
∴100≤6x﹣5y≤150，
又∵《博物》的实际总征订数为1320本，
∴6x+5y＝1320，
联立得：，其中x，y均为正整数，
解得：，
∴男生对三种杂志的实际总征订数为：
9x+7y+6x
＝15x+7y
＝15×120+7×120
＝2640，
∴男生对三种杂志的实际总征订数为：
（16.5x﹣9x）+4.5x+5y
＝12x+5y
＝12×120+5×120
＝2040，
男生与女生对三种杂志的实际总征订数之比为：2640：2040＝22：17．
【点评】此题主要考查了一次方程组的应用，解答此题的关键是读懂题目，弄清题意，通过设置适当的未知数列出实际征订数，找出等量关系列出方程，求出实际征订数．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）老师设计了一个数字游戏：给出一个式子“2×■+8﹣●”，让同学自己出题，并写出答案．
（1）小丽提出问题：若■代表﹣3，●代表5，则计算：2×（﹣3）+8﹣5；
（2）小刚提出问题：若2×■+8﹣●＝1，当■代表﹣1时，求●代表的有理数；
（3）小北提出问题：若■和●所代表的有理数互为相反数，请直接写出使2×■+8﹣●结果为正数的■所代表的有理数（写出一个即可）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣3；（2）5；（3）0（答案不唯一）．
【分析】（1）先算乘法，再算加减法即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以得到相应的一元一次方程，然后求解即可；
（3）根据题意和题目中的数据，可以得到相应的一元一次不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）2×（﹣3）+8﹣5
＝﹣6+8﹣5
＝﹣3；
（2）设●代表的有理数为x，
则2×（﹣1）+8﹣x＝1，
解得x＝5，
即●代表的有理数为5；
（3）设■所代表的有理数为y，则●所代表的有理数为﹣y，
则2y+8﹣（﹣y）＞0，
解得y，
∴■所代表的有理数可以为0（答案不唯一）．
【点评】本题考查有理数的混合运算，一元一次方程与一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出数量关系，列出相应的方程或不等式．
18．（6分）计算：
（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】（1）﹣19；（2）﹣10；（3）1；（4）．
【分析】（1）将减法统一成加法，然后利用有理数加法运算法则进行计算；
（2）使用乘法分配律进行简便计算；
（3）将除法统一成乘法，然后利用有理数乘法的运算法则进行计算；
（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，绝对值相当于小括号．
【解答】解：（1）原式＝﹣20+3+5+（﹣7）
＝[（﹣20）+（﹣7）]+（3+5）
＝﹣27+8
＝﹣19；
（2）原式＝﹣363636
＝﹣9+20﹣21
＝﹣10；
（3）原式＝81
＝1；
（4）原式＝﹣4+3﹣241
＝﹣11
．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
19．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝50°，射线OF平分∠AOC，求∠AOF的大小．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】∠AOF＝20°．
【分析】因为OE⊥CD，所以∠EOD＝90°，已知∠BOE＝50°，可得∠BOD的度数，因为∠BOD＝∠AOC，可得∠AOC的度数，因为射线OF平分∠AOC，可得∠AOF的度数．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝50°，
∴∠BOD＝40°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝40°，
∵射线OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠COF＝20°．
【点评】本题考查了垂线，关键是掌握角平分线的定义．
20．（8分）化简：
（1）3x﹣2y+1+3y﹣2x﹣5；
（2）（2x4﹣5x2﹣4x+3）﹣（3x3﹣5x2﹣4x）．
【考点】整式的加减．
【专题】常规题型；符号意识．
【答案】见试题解答内容．
【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果．
（2）原式先去括号再合并同类项即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝3x﹣2x﹣2y+3y+1﹣5
＝x+y﹣4．
（2）原式＝2x4﹣5x2﹣4x+3﹣3x3+5x2+4x
＝2x4﹣3x3﹣5x2+5x2﹣4x+4x+3
＝2x4﹣3x3+3．
【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
21．（8分）解方程：
（1）5x﹣x＝3（x﹣2）+4；
（2）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣2；
（2）x．
【分析】（1）去括号，移项、合并同类项即可．
（2）去分母，去括号，移项、合并同类项、化系数为1即可．
【解答】解：（1）5x﹣x＝3（x﹣2）+4，
去括号得：5x﹣x＝3x﹣6+4，
移项得：5x﹣x﹣3x＝﹣6+4，
合并同类项得：x＝﹣2；
（2），
去分母得：5（1﹣x）＝2（x+2）﹣10，
去括号得：5﹣5x＝2x+4﹣10，
移项得：﹣5x﹣2x＝4﹣10﹣5，
合并同类项得：﹣7x＝﹣11，
把x的系数化为1得：x．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程，容易出错的地方有：①去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．
22．（9分）已知：点A、B、C在同一条直线上，线段AB＝9，BC＝2，点D是线段AB的三等分点，求线段CD的长．
【考点】两点间的距离；线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】CD的长为8或5或4或1．
【分析】本题分四种情况讨论：如图，当C在B的右边，时，如图，当C在B的右边，时，如图，当C在B的左边，时，如图，当C在B的左边，时，再求解即可．
【解答】解：∵AB＝9，点D是线段AB的三等分点，
∴或，
如图，当C在B的右边，时，
∵BC＝2，
∴CD＝CB+BD＝2+9﹣3＝8，
如图，当C在B的右边，时，
∴CD＝CB+BD＝2+9﹣6＝5，
如图，当C在B的左边，时，
∴CD＝AB﹣AD﹣BC＝9﹣3﹣2＝4，
如图，当C在B的左边，时，
∴CD＝AB﹣AD﹣BC＝9﹣6﹣2＝1；
综上：CD的长为8或5或4或1．
【点评】本题考查了线段的和差计算，三等分点的含义，数形结合、分类讨论是解题的关键．
23．（9分）如表1是2024年1月的日历表；
表1
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
表2
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34
35 36 37 38 39 … …
（1）在表1中用优美的U形框“”框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 38 ；
（2）在表1中移动U形框的位置，若U形框框住的五个数字之和为68，则这五个数字中最大的数为 22 ；
（3）在表1日历表的基础上，继续将连续的自然数排列成如表2的数表，在图2中U形框框住的5个数字之和能等于2025吗？若能，分别写出U形框框住的5个数字；若不能，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；规律型：数字的变化类．
【专题】图表型；规律型；一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）38；
（2）22；
（3）不能，理由见解析．
【分析】（1）将五个数字直接相加即可；
（2）设最小的数字为x，由图可知，在U形框中，最小的数在左上角，上下相邻的数：上面的数比下面的数少7，左右相邻的数：右边的数比左边的数大2，最下方的数为最小的数加上15，根据此规律即可列出代数式，根据（1）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和为68，算出x即可解答；
（3）根据（2）中得出的代数式，U形框框住的五个数字之和等于2025，算出x，进而得出结论即可．
【解答】解：（1）1+8+3+10+16＝38，
故答案为：38；
（2）由图可知，
在U形框中，最小的数在左上角，
上下相邻的数：上面的数比下面的数少7，
左右相邻的数：右边的数比左边的数大2，
最下方的数为最小的数加上15，
设最小的数字为x，则U形框框住的五个数字之和为：x+x+2+x+7+x+9+x+15＝5x+33，
∵U形框框住的五个数字之和为68，
∴5x+33＝68，
解得：x＝7，
∴这五个数字从小到大依次为7，9，14，16，22，
故答案为：22；
（3）不能，理由如下：
若U形框框住的五个数字之和等于2025，则5x+33＝2025，
解得：x＝398.4，
因为x不是整数，所以不能框住．
【点评】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解决此类问题的关键在于找出题目中数字排列的规律，根据这个规律写出式子解决问题．
24．（10分）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：|a+5|+|b﹣5|+（c﹣nb）2＝0，n为正整数．（1）判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由．
（2）设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动t秒．
①当AC＝BC时，试说明，并写出推理过程；
②在①的前提下，若点C继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数k，使得BC﹣kAC的值与t无关？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】合并同类项；有理数；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，理由见解析；
（2）①见解析；
②当k＝1或k＝﹣1时，BC﹣kAC的值与t无关．
【分析】（1）由|a+5|+|b﹣5|+（c﹣nb）2＝0可得：a＝﹣5，b＝5，进而可判断点A，B在数轴上所对应的数的关系；
（2）①运动t秒后点C在数轴上所表示的数为5n﹣t，由AC＝BC可得点C在数轴上所表示的数为0，所以t＝5n，进而t（2n+1）＝5n+5n10n5（2n）；
②分点C位于点A的右侧和点C位于点A的左侧两种情况分别求解．
【解答】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．
理由：∵|a+5|+|b﹣5|+（c﹣nb）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣5＝0，c﹣nb＝0．
∴a＝﹣5，b＝5，c＝5n，
∴点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．
（2）①证明：运动t秒后点C在数轴上所表示的数为5n﹣t，
由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，
∴AC＝BC，
∴点C在数轴上所表示的数为0，
∴5n﹣t＝0，即t＝5n，
∴t（2n+1）＝5n+5n10n5（2n），
∴t（2n+1）＝5（2n）．
②解：点C从原点出发，运动t秒后，点C在数轴上表示的数为﹣t，
∴AC＝|﹣t+5|，BC＝5﹣（﹣t）＝5+t，
当点C位于点A的右侧时，AC＝﹣t+5，
∴BC﹣KAC＝5+t﹣k（﹣t+5）
＝5+t+kt﹣5k
＝5+（k+1）t﹣5k，
当k+1＝0，即k＝﹣1时，BC﹣kAC的值与t无关，
当点C位于点A的左侧时，AC＝﹣（﹣t+5）＝t﹣5，
∴BC﹣kAC＝5+t﹣k（t﹣5）
＝5+t﹣kt+5k
＝5+（1﹣k）t+5k，
当1﹣k＝0，即k＝1时，BC﹣kAC的值与无关．
综上所述，当k＝1或k＝﹣1时，BC﹣kAC的值与t无关．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，绝对值，数轴等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
25．（10分）如图，已知∠1＝∠3，CD∥EF，求证AB∥EF．
【考点】平行线的判定与性质；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据对顶角相等及∠1＝∠3，推出∠1＝∠2，即可得到AB∥CD，再根据平行于同一直线的两直线平行得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠3，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∵CD∥EF，
∴AB∥EF．
【点评】此题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，以及平行线的推论：平行于同一直线的两直线平行，熟记定理是解题的关键．
考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a 1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
6．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a （b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
7．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
8．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
9．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
10．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
11．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
12．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
13．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
14．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
15．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
16．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
17．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
18．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
19．同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
20．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
21．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
22．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
23．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
24．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
25．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
26．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
27．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
28．线段的和差
线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，
29．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
30．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
31．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
32．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
33．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
34．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
