东煌学校2023-2024学年高二下学期期末考试
数学
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．已知等差数列的前项和为，且则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
3．已知函数先向左平移个单位后其图像关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．为正项等比数列，且，则（ ）．
A．18 B．16 C． D．
5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6． 在上是单调函数，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，那么 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题(每小题6分，共18分)
9．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
10．已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在区间上单调递减
C．
D．函数在区间内的零点个数为3
11．已知函数，则（ ）
A．在上的极大值和最大值相等
B．直线和函数的图象相切
C．若在区间上单调递减，则
D．
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．等差数列前n项和分别为，且满足，则 ．
13．已知，则 ，若在第三象限，则的值是 .
14．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分)
15．(13分)已知函数.
(1)求区数在区间上的值域；
(2)若，且，求.
16．(15分)已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
17．(15分)已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．(17分)已知函数．
(1)当，求的单调区间；
(2)若有三个零点，求的取值范围．
19．(17分)已知函数．
(1)求的最小正周期．
(2)求的单调递增区间．
(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围．2023--2024学年下学期期末试卷(高二数学）
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．已知等差数列的前项和为，且则数列的公差为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】设等差数列的公差为.因为，
所以，.
又因为，所以，解得：.故选：B.
2．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ D ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【详解】当时，左边，
当时，左边，
左边增加的项为，共项. 故选：D
3．已知函数先向左平移个单位后其图像关于对称，则的最小值为（ B ） A． B． C． D．
【详解】函数向左平移个单位后得到的图像，
由于图像关于对称,故,
即,由于,故的最小值为, 故选：B
4．为正项等比数列，且，则（ A ）．
A．18 B．16 C． D．
【详解】所以，
,故选：A.
5．函数的单调递增区间为（ C ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以令可得，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：C
6． 在上是单调函数，则的最大值是（ C ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【详解】，
令，得.
令,可得.故函数在上是单调函数，
所以，解得.所以的最大值是4.故选:C.
7．设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
【详解】，因为函数在上单调递减，
所以导函数在小于等于零恒成立，分离参数可得恒成立在，
设，则，
令可得，所以在恒增，所以，即
所以实数a的取值范围是.故选：D.
8．已知，那么 （ A ）
A． B． C． D．
【详解】因为，可得，
又由
. 故选：A.
二、多选题(每小题6分，共18分)
9．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ BCD ）
A．数列是等比数列 B． C． D．
【详解】对于A选项，取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，所以C，D均正确．故选:BCD．
10．已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ CD ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递减
C． D．函数在区间内的零点个数为3
【详解】对于选项A：，，令，，
解得，，故函数的图象关于直线，对称，错误；
对于选项B：令，，得，，
函数的单调递减区间为，，错误；
对于选项C：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，正确；对于选项D：令，，得，，
函数在区间内的零点有，，，共3个，正确．故选：CD．
11．已知函数，则（ BCD ）
A．在上的极大值和最大值相等
B．直线和函数的图象相切
C．若在区间上单调递减，则
D．
【详解】选项A：，令，得或，故在，上单调递增：令，得，故在上单调递减．
当时，的极大值为，又，所以在上的最大值为，所以A错误． 选项B：易知直线的斜率为－3，设直线和函数的图象相切的切点为，则，即，解得，故，故切点为，显然切点坐标满足，故B正确． 选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，则，故，故C正确． 选项D：易知，所以，故D正确．故选：BCD
三、填空题(每小题5分，共15分)
12．等差数列前n项和分别为，且满足，则 ．
【详解】． 故答案为：
13．已知，则 ，若在第三象限，则的值是 .
【详解】由，得，
解得，或；
，
若在第三象限则，∴，
故答案为：或；.
14．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 .【答案】
【详解】由得，
所以当或时，，当时，，
于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值，
因在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，
于是得，且，
即，解得，所以实数的取值范围为.
四、解答题(本大题共5小题，共77分)
15．(13)已知函数.
(1)求区数在区间上的值域；
(2)若，且，求.
【详解】（1）解：，
所以，
当时，，故 从而，
所以函数在区间上的值域为：；
（2）解： 所以，
因，若，则，矛盾！
故， 从而
所以.
16．(15)已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）易知，依题意，解得，
此时，
当或时，；当时，，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极值，所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，
由题意可得，解得， 所以的取值范围为．
17．(15)已知数列满足.
(1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和.
【详解】（1）当时，，
当时，由，①
得，②
①-②得，即，
经检验，也符合，
所以；
（2）由题意得，
所以
.
18．(17)已知函数．
(1)当，求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围．
【详解】（1）将代入可得，其定义域为R，则.
和都在上增函数，所以在上单调递增且，
因此，当时，，函数为单调递减；
当时，，函数为单调递增；
综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）（2）由得，，令，
则，
时，单调递减；时，单调递增；
时，单调递减；
由单调性可知，当时，；当时，；
当时，取得极小值，即；当时，取得极大值，即.
所以和的大致图象如下：
综上所述，若有三个零点，则的取值范围为．
19．(17)已知函数．
(1)求的最小正周期．(2)求的单调递增区间．
(3)若关于的方程在上有解，求实数m的取值范围．
【详解】（1）函数
故函数的最小正周期为．
（2）令，解得，
∴单调递增区间为．
（3）因为，
所以，
所以，
所以的值域为，
关于的方程在上有解，
则关于的方程在上有解，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是．
