2024年广东省广州市越秀区华侨外国语学校中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.不等式的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4.年体育中考男生引体向上个就能得到分为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七班的位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为，，，，，则这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.有两辆车按，编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率是( )
A. B. C. D.
7.一次函数中，随的增大而减小，，则这个函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
9.如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值有下列结论：
；
关于的方程有两个不等的实数根；
．
其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.的算术平方根是______．
12.分解因式： ______．
13.同圆中，已知弧所对的圆心角是，则弧所对的圆周角是______．
14.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
15.如图，圆锥的母线与底面半径的夹角为，，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是______
16.如图，在矩形中，，，点在直线上，连接，．
当，则 ______；
当最大时， ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且求证：．
19.本小题分
已知．
化简．
若为二次函数的最小值，求此时的值．
20.本小题分
某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到如下统计图表，已知在扇形统计图中段对应扇形圆心角为．
分段 成绩范围 频数 频率
分以下
在统计表中， ______， ______， ______；
若统计表段的男生比女生少人，从段中任选人参加复赛，用列举法求恰好选到名男生和名女生的概率．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
求反比例函数的表达式；
过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．
22.本小题分
某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少．
“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元，
求与的函数关系式不要求写出的取值范围；
若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
23.本小题分
如图，在中，是钝角．
尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出圆，使其过、两点，交于点，连接；不写作法，保留作图痕迹
在所作的图中，若，，．
求证：是圆的切线；
求圆的半径长．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线是常数的顶点为．
直接写出点的坐标：______用含的式子表示；
若过点作平行轴的直线交抛物线于点，在的左边，在的右边，，求的最小值；
在第问的条件下，将直线向上平移与抛物线分别交于、，与轴交于，在的左边，在的右边，且，当点关于直线的对称点在直线的上方时，求的取值范围．
25.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，，、分别是、上一点，且．
如图，当时，求的长度．
如图，过点作，交于点，作，交于点，求证：．
连接，当的长度最小时，求的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：原式
．
18.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
．
19.解：
；
，
所以当是有最小值，
所以原式．
20.
21.一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
将代入，
得：，
，
反比例函数的表达式为；
如图，过点作轴于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，，
，
解得：，
直线的函数表达式为，
联立方程组：，
解得：舍去，，
点的坐标为
22.解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
元，
答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元；
设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，
则，
与的函数关系式为；
购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，
，
解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为，
答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元．
23.解：图形如图所示；
证明：连接．
，
，
是直径，
，
，
，
，
，即，
是半径，
直线是的切线；
在中，，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
的半径为．
24.
25.解：如图：过作交于，设，
等腰直角三角形，，
，
，
，，，
，
，
解得，，
，
，
，
；
证明：由题意知，，
，，
，，
，
，
如图，连接，
，，，
≌，
，，
设，则，，
，，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
如图，作的外接圆，延长交的外接圆于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，作于，
由题意知，，，
由可知，，
设，则，，，
由勾股定理得，，
，
当时，最小，即最小，
，
最小时，，
当的长度最小时，的面积为．
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