巧用数学运算解决物理难题
解题方法
1.方法介绍
(1)比例法：它是在题设描述的物理现象由初始状态变到终极状态的过程中，存在一个或几个“恒量”，利用“恒量”作桥梁，确定未知量和已知量之间的比例关系，进而求解物理问题的方法。
运用比例法解题时，要先依据物理定律、公式或某些相等量 (或成比例量)，利用比例法建立未知量和已知量的关系，然后利用比例性质求解。利用比例法解题可以避免反复套用公式而带来的计算上的麻烦，省去很多中间环节，对物理量的单位也不要求全部统一，只要相比的同类物理量的单位相同就可以了。
运用比例法的一般步骤：
①了解题意，选择相应的物理公式；
②依据题目描述的物理现象找出保持不变的或者相等的物理量；
③以“不变 (或相等)的量”为纽带，将公式联立成比例式。
(2)代数法：它是对于一些综合性很强的问题，采用其他方法均不能将已知条件和所求量建立起直接或间接联系，这时可设所求的物理量为已知量，依据物理公式或关系式，用这个已知量和已知条件建立起一个或数个数学关系式，用数学工具求解的方法。
常用到的数学工具有一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元二次三项式配方求极值、不等式等。
(3)几何法：它是利用数学几何知识来巧妙解决物理中较为复杂的问题的方法。例如，在光学中经常会用到三角形相似的原理，平行线的各个角度的关系等。用几何法时一般都是先根据题意画出符合要求的图形，然后利用几何知识研究图形中的点、角、线、面的关系，然后对应物理知识进行解题。
2.实例分析
(1)立方体甲和乙的边长之比是2∶3，将它们分别放置在水平桌面上时，它们对桌面的压强均为p。将甲如图3-1 所示放置在乙上面，乙对桌面的压强为 则 等于 ( )。
A.9:13 B.13:9
C.9:4 D.13:4
分析
甲、乙为立方体，单独平放在水平桌面上时，对桌面的压强可用推导公式 得出， 由题干的边长之比求出甲、乙的面积之比，即 所以 t
答案
B
(2) 两灯L 、L 分别标有“3V0.9W”和“ V0.2W”字样, 其中 的额定电压已经看不清，将两灯并联在1V的电源下，发现L 比较亮一些；将两灯串联在电源电压为3V 的电路中，发现L 恰好正常发光，则此时 L 消耗的实际电功率为 W。
分析
根据“3V 0.9W”的字样可知, L 的电阻 两灯并联时 较亮，由公式 可知L 的电阻R 小于L 的电阻R , 即 R
0.4
(3)如图3-2所示，100米宽的河对岸边有一棵大树 EF，现有刻度尺 (足够长)一把，试问不用渡过河到对岸，能否测出大树的高度 如何测量
分析
如图3-3所示，河面MN相当于平面镜，画出EF 在水中的成像. 再连接 加一条辅助线 FC，可以很明显地看出△FCE'与△BCA 相似，则根据平面镜成像特点及数学中相似三角形的知识可以得出 只要用刻度尺测出人高AB、河面到河岸高度 CN 和人到河岸距离BC，再代入河宽 米，则可求出. 最后测出水面距岸边高度MF， CN，即可求出大树高
答案
可以测量。画出EF 在水中的成像 再连接 C 为河岸的边沿，加一条辅助线FC, 如图3-3所示, O为 与水面的交点，M、N为水面在左右两边的端点。用刻度尺测量出人高AB、河面到河岸高度 CN以及人到河岸距离 BC，利用三角形相似原理， 与 相似，可以得出 则大树高
典例精讲
例题1
甲、乙两人多次进行百米赛跑，但每次甲都比乙提前 10m到达终点，若两人的速度不变，现让甲从起跑线后退 10m，乙仍在原起点开始赛跑，则 ( )。
A.甲、乙同时到达终点 B.甲先到达终点
C.乙先到达终点 D.无法判断谁先到达
思路提示
甲、乙两人两次赛跑都是保持各自的速度不变，所以可以利用速度不变这一条件列出方程，然后求解方程即可。
例题2
配制盐水，要求盐水的密度为 现在已配制成体积 的盐水，称得其质量为 问 这样的盐水是否符合要求 如不符合要求，应如何配制
思路提示
本题是一个混和密度的问题，所以可以利用总质量除以总体积进而求解平均密度。
例题3
某物体在空气中用弹簧秤称得其重力为5.4N，将该物体浸没在水中称，重力为3.4N，若将它浸没在另一种未知液体中，弹簧秤读数为3.8N，求这种液体密度。
思路提示
按照一般解题思路，应该根据物体在水中的浮力计算出该物体的体积，再利用阿基米德原理计算出液体的密度，这种解法比较麻烦，因为物体在两种液体中都是浸没，因此 相等，根据阿基米德原理，采用比例法就简单多了。
例题4
把标有“220V 25W”和“220V 60W”的灯L 、L 串联接在220V 的电源上, 则 与L 的功率之比为 ( )。
A.12:5 B.5∶12 C.1:1 D.2:5
思路提示
因为两灯的电阻保持不变，所以可以先求出电阻比，然后利用串联电路电功率之比等于电阻比的关系求解。
例题5
在如图3-4所示的电路中，电源电压U=6V，定值电阻， 滑动变阻器最大阻值为20Ω。求在滑片移动过程中，滑动变阻器功率的最大值 Pmax是多少
思路提示
本题可以利用数学的配方法求解最值问题。(课堂上老师一般会直接告诉当滑动变阻器的阻值等于定值电阻时，滑动变阻器的功率最大。)
例题6
在如图3-5所示的电路中，试分析：当滑片P位于何位置时电流表的读数最小。
思路提示
本题的关键是分析滑动变阻器的阻值变化，根据并联电路的总电阻公式表示出总电阻，然后对总电阻表达式进行分析，求解电流表读数的最小值。
例题7
用一直径为20cm的凸透镜正对着太阳光，在凸透镜的另一侧15cm处，有一垂直透镜主光轴的光屏，光屏上显现出一个直径是10cm的光斑，则凸透镜的焦距可能是多少
思路提示
本题需要根据不同情况分别画出光路图，然后利用三角形相似的知识列出比例方程，然后求解。
针对训练
1.一旗杆在阳光的照射下，影长为5.6m，旗杆高为7m，同时某人直立时影长为1.4m，则此人高为 ( )。
A.1.7m B.1.75m C.1.80m D.1.85m
2.阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个用金和银做成的王冠，用排水法测量出其体积为 若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为 和 则王冠中银的质量和金的质量之比为( )。(
A.1 ∶8 B.1∶9 C.1∶10 D.1∶11
3. (多选)甲、乙两个实心物块，它们的质量相同，其密度分别是 和 甲、乙物块均用弹簧拉住，使它们静止在水中,如图3-6所示,此时 ( )。
A.甲、乙物块所受浮力之比为l∶2
B.甲、乙物块所受浮力之比为2 ∶1
C.甲、乙物块所受弹簧拉力之比为2∶3
D.甲、乙物块所受弹簧拉力之比为 1∶6
4.如图3-7所示，电源电压不变，定值电阻R的阻值为18Ω。有四只白炽灯泡L 、L 、L 、L , 它们的规格分别为“3V 2W”、 “6V 2W”、 “12V2W”、“24V 2W”。当把它们分别接在电路中的M、N两端时，实际功率最大的是 ( )。
A. L B. L
C. L D. L
5.如图3-8所示电路，把一根粗细均匀的电阻丝弯成圆环，A、B、C、D 是将圆四等分的点，电流表的一端固定在A点，当开关闭合后，滑片P 由 B 点经过 C 点滑到D 点的过程中，电流表的示数将 ( )。
A.由小变大 B.由大变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
6. 阻值为12Ω的电阻R 与电阻R 并联在电路中，R 消耗的功率为12W,干路电流为 2A, 则 R 的阻值为 Ω, 电源电压为 V。
7.在图3-9 (a)所示的电路中，电源电压保持不变。将滑动变阻器R的滑片P由a端移到b端，电压表 V 、V 的示数与电流表 A 示数的变化关系图线如图3-9 (b)所示。根据图线可以知道，滑动变阻器R的最大阻值为 Ω，定值电阻 的阻值为 Ω。
8.小李想测量食用油的密度ρ油，他手边的测量工具只有刻度尺。小李利用身边的器材设计出一个实验方案。找来一根均匀轻质直硬棒，用细线系在O 点吊起，硬棒在水平位置平衡，将一密度未知的金属块 B 挂在硬棒左端C 处，另外找一个重物 A 挂在硬棒右端，调节重物 A 的位置，使硬棒在水平位置平衡，此时重物挂在硬棒上的位置为D，如图3-10所示。下面是小李测出ρ油的部分实验步骤，请你按照小李的实验思路，将实验步骤补充完整。
(1) 用刻度尺测出OD 的长度 L ;
(2)将适量水倒入烧杯 (水的密度ρ水为已知)，金属块B没入水中且不碰烧杯，把重物A 从 D处移动到E处时 (E 点未标出)，硬棒再次在水平位置平衡， ,将金属块 B 取出;
(3)将适量油倒入另一烧杯，金属块B没入油中且不碰烧杯，将重物A 从 E 处移动到F处时，硬棒再次在水平位置平衡， ，将金属块B取出，用抹布擦干;
(4)利用上述测量出的物理量和题中的已知量计算ρ沸的表达式为 。
9.如图3-11 所示，电工要从房A点接导线到河岸O点安装一盏路灯后再到房 B点，路灯 O点选在岸上何处用导线最短
10. 如图3-12所示，某人站在距公路O点40m的A 处，发现公路上有一汽车从B处以v =10m/s的速度沿公路匀速行驶，已知AB 相距100m，此人最少要以多大的速度沿什么方向奔跑才能与汽车相遇。
11.有两个实心圆柱体A和B叠放在一起，并完全接触，放在水平地面上，如图3-13所示, 已知A、B两圆柱体的高分别为8cm、10cm, A 与B的底面积之比为1∶4, A对B 的压强是2000Pa, B的密度是 求圆柱体 A的密度及B对地面的压强。(g 取 10N/kg)
某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，其中的一部分结构如图3-14所示。OA 是一个均匀钢管，每米长所受重力为30N，O是转动轴, 重物的质量m为150kg, 挂在B处,( 拉力F作用在A点，竖直向上。为维持平衡，钢管 OA 为多长时所用的拉力最小 这个最小拉力是多少 (g 取 10N/kg)
例题1
【答案】B
【解析】设甲、乙两人的速度分别为v ，v ，根据题意有 即
再设甲跑完 110m所用的时间为t ，乙跑完 100m所用的时间为t ，则有 由此解得 所以
例题2
【答案】现在盐水的密度为 可见盐水不符合要求，太浓了，需要加水，设所加水的体积为 V水，根据题意得
化简可得 解得
例题3
【答案】由于物体是浸没在液体中，所以 F水=5.4N-3.4N=2N,
而 故
例题4
【答案】A
【解析】因两灯的额定电压相等，由 可得两灯电阻与其额定功率成反比；当两灯串联时，因为两灯电流相等，由P=l R可得它们此时的功率与其电阻成正比，因此两灯串联的功率与它们的额定功率成反比, 即为60∶25, 也就是12∶5。
例题5
【答案】将变阻器功率表达式配方： 可见 只有当 时,P 有最大值,所以
例题6
【答案】滑动变阻器Rp被截成两部分后并联接入电路，再和R 串联，设Rp的最大阻值为R，被截的两部分电阻分别为 Rn 和 (R-Rn)，这两部分并联后的总 电 阻 为
所以
当 时，即滑片 P 位于 R 的中间位置时R并最大 此时R总最大，电路中的电流最小。
例题7
【答案】焦距可能为30cm, 也可能为10cm。
【解析】(1)当太阳光未过焦点时会聚成光斑，如图7所示, .AB=20cm, CD=10cm, OE=15cm, OF=f。因为 △AFB ∽△CFD, 所以 即 解得.f=30cm。
(2)当太阳光过焦点后会聚成光斑，如图8所示，AB= 20cm, CD= 10cm, OE = 15cm, OF=f。 因为△AFB∽△DFC, 所以 即 解得f=10cm。
针对训练
1. 【答案】B
【解析】在相同情况下，物体的高度和物体影子长度的比值是相同的。所以旗杆高度和旗杆影子长度的比值等于人的高度和人影长度的比值。设人高度为H，则7m:5.6m=H: 1.4m,解得H=1.75m。
2. 【答案】B
【解析】与王冠质量相同的纯金块的体积 V =52.5cm , 所以王冠的质量m=ρ金V= 19.3g/cm ×
设王冠中含金和银的体积为V金、V银，则王冠的质量为
即 王冠的体积为
由①②两式可得则m…=101.325g。
黄金 的 质 量 =911.925g。
所以王冠中银的质量和金的质量之比m银: m金 =101.325g:911.925g=1:9。故选 B。
3. 【答案】AD
【解析】(1)首先根据质量相同，密度不同，求出体积之比为1∶2，然后根据阿基米德原理求浮力之比为1:2。
(2)甲、乙两物体都在水中静止，处于平衡状态，所以合力为零，对甲物体受力分析可得
所以
同理： ρz) gVz,所以
4. 【答案】B
【解析】本题考查“功率的最值问题”。要使 MN 两端的功率 达到最大，必须使 合乎这一条件的电阻只有灯 L 的电阻
而灯 L 、L 、L 的电阻分别为R =4.5Ω, R =72Ω, ，均偏离这一值较多。
5. 【答案】D
【解析】圆环被截成两段后并联接入电路，当等分的截成两段并联时，总电阻最大，电流最小，所以滑片P 在 C点时,电流最小,则从 B点经过C 点,到达 D点的过程中，电流先变小后变大。
6. 【答案】12; 12
【解析】设电源电压为U，由并联电路中干路电流等于各支路电流之和列等式 求出 U后即可求出 R 的阻值。
7. 【答案】9; 2
【解析】由欧姆定律定律可判断出正比例函数图像、一次函数图像分别对应R 、滑动变阻器的 U-I图像，可分别写出它们的函数表达式为U =4I, U =-6I+6V，当滑动变阻器接入的阻值最大时，电压表 V 的示数最大，从图像上找到 V 示数最大的这个点，将该点的横坐标对应的电流值代入函数表达式即可求出对应的电压，由公式R=U/I求出滑动变阻器的最大值，由R 的U-I图像求出 R 的阻值，最后根据电源电压不变列等式求出 R 的阻值。
8. 【答案】(2) 用刻度尺测出OE 的长度L ;
(3)用刻度尺测出 OF的长度
【解析】由杠杆平衡条件列出三次的平衡等式，把等式相减消元后再相除进一步消元，同一物体分别浸没在水和油中时，由公式 可求出ρ油的表达式。
9.【答案】如图9所示
【解析】作出点A关于河岸的对称点C，连接 BC 交于河岸一点 E，点 E 即为安装路灯O 的位置。因为两点之间线段最短，所以CE 和 BE 之和最小，即河岸上的点 E 为路灯 O 的位置。
10. 【答案】4m/s, 垂直于AB的方向
【解析】设人应沿与AB成θ角的方向奔跑，经时间t与汽车在C处相遇 (如图10所示)，则
过 B点作 BD⊥AC, 垂足为 D, 因为△BCD∽△ACO, 所以 又因为BD=ABsinθ, 所以 显然要v人最小, sinθ=1, 此时 即此人最少以4m/s的速度沿垂直于AB的方向奔跑，才能与汽车相遇。
11. 【答案】 3500Pa
【解析】(1) 已知A 对B的压强, 由公式 求出ρA; (2) 由A、B的高度比和面积比求出VA :VB, 再结合ρA:ρB求出GA:GB, 由公式. 求出PAB : PB地的比值，就能求出PB地的值。
12. 【答案】 10m; 300N
【解析】设每米钢管重G，OA=l，根据杠杆的平衡条件，则有Gl
因为方程有实数解，所以Δ≥0，即( 2mg≥0,化简之后可得 F的最小值为 300N, 此时
