极限思维法
解题方法
1.方法介绍
极限思维法：把研究的对象或过程通过假设推到理想的极限情况，利用最大值、最小值使因果关系变得明显，从而把某个物理情境中比较隐蔽的临界现象 (或“各种可能性”)暴露出来，便于解答题目。运用极限思维法求解某些物理问题与常规解法比起来，大大地缩短解题时间，提高解题效率，可使物理问题更加明晰，去伪存真，加深我们对问题的理解。
2.实例分析
如图5-1所示，一均匀轻质杠杆从中间支起，在两侧各放一只粗细相同但长度不同的蜡烛后刚好平衡，同时点燃后，如果燃烧的情况也相同，那么燃烧一段时间后 ( )。
A.仍然平衡 B.左侧下降
C.右侧下降 D.无法判断
分析
本题考查了杠杆平衡条件和动态变化的问题，如果按照常规思路解答此题，过程则较为复杂，所以我们要转换思维，用极限的思维处理此题。因为燃烧的时间相同，所以每支蜡烛减少的量是相同的，当较短的蜡烛全部燃烧之后，较长的蜡烛还有剩余，因杠杆为轻质杠杆，质量可以忽略，所以有较长蜡烛的那一端下沉。
答案
B
典例精讲
例题1
做凸透镜成像的实验时，把蜡烛从3倍的焦距向焦点移动的过程中，物距与像距的和将( )。
A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.先变大后变小 D先变小后变大
思路提示
我们可以分不同情况，利用极限的思维解题。从物距无限大，到物距在2倍焦距和物距为零分别分析。
例题2
如图5-2所示，甲、乙两个质量相等的均匀实心正方体放在水平地面上，压强 已知铜的密度大于铁的密度，可能使甲和乙对地面的压强相等的方法是 ( )。
A.将质量相等的铜块和铁块分别放在甲、乙的上面
B.将体积相等的铜块和铁块分别放在甲、乙的上面
C.沿水平方向分别截去质量相等的部分
D.沿水平方向分别截去体积相等的部分
思路提示
因为题目中问的是可能的情况，所以我们可以采用两端取极限的方法解决问题。
例题3
如图5-3所示，在水平桌面上放有两个完全相同的圆柱形容器，并分别盛有等质量的 A、B 两种液体，两容器中分别有 M 和 N 两点，这两点到容器底部的高度相同，试比较两点所受液体压强PM和PN( )。
PM=PN D.无法确定
思路提示
因两点到容器底部的高度相同，我们可以用极限的思维，将两点的高度提高，提高到A液体的表面，然后再分析。
例题4
在海南举办的大力士比赛中，有一个项目是把车轮推上台阶。下面把车轮推上台阶的四种方法，推力的作用点相同，推力的方向不同，则哪一种推法最省力 ( )。
思路提示
想要找到最省力的情况，即力最小的情况，根据杠杆平衡条件，则需要找到力臂最大的情况，运用几何知识知道：支点和杠杆上距离支点最远的点的连线为最长力臂。
例题5
如图5-4所示，一个轻质杠杆的两端分别挂有铜块和铝块，此时杠杆平衡，若将两金属块同时浸没入水中，杠杆是否会平衡 ( )
A. 平衡 B.不平衡，左端下沉
C.不平衡，右端下沉 D.无法判断
思路提示
本题可以利用极限的思想，将液体的密度增大到和铝块的密度相同，则受力分析就会简化，进而快速判断。
例题6
如图5-5所示电路，电源电压( 且保持不变， 滑动变阻器 R 的最大阻值为20Ω，电流表量程为0~0.6A，电压表的量程为0~3V，通过分析计算说明滑动变阻器 允许的取值范围。
思路提示
本题主要是找电路中的最大电流和最小电流，进而找到滑动变阻器阻值的变化范围。
针对训练
1.如图5-6所示容器中有一定量的水，入射光线1斜射入水中，折射光线为2，在容器底部P点形成一亮点，当打开容器底部阀门时，随着水面的下降，亮点P将 ( )。
A.向左移动 B.向右移动
C.不移动 D.无法确定
2.井口的面积为S，一只青蛙在井底中心处，关于青蛙在井中看到天空的大小，下列说法中正确的是 ( )。
A.在没有水时，看到天空的大小为S
B.在有水时，看到的天空的大小大于 S
C.两种情况下，看到天空的大小都是S
D.水浅时看到天空的大小比水深时大
3.如图5-7所示，甲、乙两个正方体分别放置在水平地面上，他们各自对地面的压强相等，若分别在两个正方体的上部，沿水平方向截取相同体积后，甲、乙的剩余部分对地面的压力 和 压强 的关系是 ( )。
4.如图5-8所示，密度均匀的木块漂浮在水面上，现沿虚线将下部分截去，则剩下的部分将 ( )。
A.上浮一些 B.下沉一些
C.静止不动 D.无法确定
5. (多选)如图5-9所示，底面积不同的圆柱形容器 A 和 B 分别盛有甲、乙两种液体，且甲的质量等于乙的质量，经下列变化后两容器中液体对各自容器底部的压强为PA和PB，其中可能使 的是 ( )。
A.甲、乙各自抽取相同体积的原有液体
B.甲、乙各自抽取相同质量的原有液体
C.甲、乙各自抽取相同高度的原有液体
D.甲、乙各自倒入相同高度的原有液体
6.如图5-10所示，一块冰放在0℃的水中，它在融化前与水底接触，在融化过程中下列说法符合事实的是 ( )。
A.容器内液面上升
B.融化过程中冰受到的浮力在减小
C.若在容器中加水，冰块一定会上浮
D.因为冰块触底，所以此时冰块浮力等于重力
7.汶川大地震中，巨大的石头挡住了救援车辆的通路，救援人员用撬棍将石头撬开。如果在撬棍a端分别沿如图5-11 所示三个方向用力，其中最省力的是 ( )。
A. 沿 F 方向 B. 沿 F 方向
C. 沿 F 方向 D.三个方向所用力一样大
8.有粗细不均匀的长棒 AB,如图5-12 所示,支于 O 点处平衡，如果将其两端同时截去相等长度，则该长棒将会 ( )。
A.仍然保持平衡 B.顺时针旋转
C.逆时针旋转 D.无法判断
9.若杠杆两端分别悬挂两大小不同的铁球 (材料相同)，杠杆平衡，完全浸没入水中，是否会平衡 ( )。
A. 平衡 B.不平衡，小球的一端倾斜
C.不平衡，大球的一端倾斜 D.无法判断
10.如图5-13所示，一根杠杆可绕 O 点转动，杠杆中间处挂着一重物G，如果在A 点施加一个如图所示的动力F使杠杆在水平位置平衡，当F绕A点逆时针旋转90°过程中，力 F 大小的变化情况是 ( )。
A. 变大 B. 变小
C.先变小后变大 D.先变大后变小
11. 如图5-14所示的电路，电源电压恒为4.5V，电流表量程为0~0.6A，电压表量程为0~3V，定值电阻阻值为5Ω，滑动变阻器最大阻值为20Ω。闭合开关，移动滑片P 的过程中，下列说法正确的是 ( )。
A.若滑片 P 向右移动，电流表示数变大
B. 滑动变阻器的阻值变化范围为2.5~20Ω
C. 定值电阻的功率变化范围为0.45~1.8W
D.电压表与电流表的示数比值不变
12. (多选) 如图5-15 所示, 电源电压为6V, R 是滑动变阻器, 其调节范围是0~20Ω,R 为一个阻值等于20Ω的定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，R 消耗的功率为 ( )。
A. 最大值为 1.8W B. 最大值为0.9W
C. 最小值为0.9W D. 最小值为0.45W
13. (2016·南京) 如图5-16 (a) 所示电路, 电源电压不变,R 是定值电阻，R 是滑动变阻器。闭合开关，将滑动变阻器滑片由一端移到另一端的过程中，电路中电流表示数和电压表示数的关系如图5-16 (b)所示，则滑动变阻器滑片由一端移到另一端的过程中( )。
A.电路总功率的最小值为1.8W
B.电路总功率的最大值为5.4W
C.定值电阻电功率的最小值为 1.35W
D. 定值电阻电功率的变化为4.05W
14.如图5-17所示，画出使杠杆平衡的最小力的示意图 (要求保留作图痕迹)。
15.如图5-18所示，若轻质杠杆两端分放有粗细相同、长短相同的一支和两支蜡烛时是平衡的，如果每只蜡烛每秒钟燃烧掉的蜡的质量相同，三只蜡烛同时点燃后，过一段时间是否平衡
16.如图5-19 所示的电路中，电源电压恒定，R 是定值电阻，R是滑动变阻器。开关S闭合后，当滑动变阻器的滑片P 在左右滑动过程中，电压表的最大示数为3V，电阻， 功率变化范围是0.3~1.2W, 则电源电压为 V, R 的阻值为 Ω。
17. 如图5-20所示, 电源电压保持不变, L 是标有“6V 3W”的小灯泡, 定值电阻R=10Ω。当S、S 闭合, S 断开, 且P位于a端时，电路消耗的功率为3.6W，P 位于b端时，电路消耗的功率为0.72W。(设灯泡电阻不随温度变化)求：
(1)电源电压;
(2)滑动变阻器 R 的最大阻值；
(3)要使电路的总功率最小且电流表的示数不为0，请指出开关S、 的断开、闭合情况和滑片P 的位置，并求出此时的最小功率。(保留两位小数)
典例精讲
例题1
【答案】D
【解析】蜡烛从3倍焦距向焦点移动，我们可以考虑几个特殊点，把物距无限放大，像成在焦点上，物距与像距的和无限大；当蜡烛在焦点上时，像成在无限远处，物距与像距的和无限大；当蜡烛在 2 倍焦距时，像成在2倍焦距处，物距与像距的和为4倍的焦距。显然4倍的焦距时物距与像距的和最小，由此可知：物距与像距的和先变小后变大。
例题2
【答案】D
【解析】A选项，若放在两物体上面的质量取无限小，近似为零，则甲、乙的情况和原来一样p甲>pz；若质量取无限大，则甲、乙两物体对地面的压力会变得近似相等，因为甲的受力面积小，所以P甲>P乙。则无论放在两物体上面的质量取无限小还是无限大，都有pp>Pz，故A 不可能做到压强相等。
B选项，若放在两物体上面的体积取无限小，近似为零，则甲、乙的情况和原来一样P甲>Pz；若体积取无限大，因为甲的密度大于乙的，则对地面的压力F甲>F乙，又因为甲的受力面积小，所以P甲>P乙。则无论放在两物体上面的体积取无限小还是无限大，都有P甲>P乙，故B不可能做到压强相等。
C 选项，若水平截去的质量取无限小，近似为零，则甲、乙的情况和原来一样P甲>Pz；若截去的质量近似等于物体质量 (此时不能取到截去无限大)，因为两物体质量相等，所以此时两物体的压力都近似为零, 所以,P甲=P乙(注意：因为切去的质量不可能等于物体质量，所以此种情况不可能存在)。所以无论截去的质量是多还是少，都有P甲>P乙,故 C 不可能做到压强相等。
D选项，若水平截去的体积取无限小，近似为零，则甲、乙的情况和原来一样P甲>P乙；若截去的体积近似等于甲物体体积(此时不可能取到截去无限大)，则甲物体对地面的压力近似为零，压强近似为零，所以pp
【答案】B
【解析】因两点到容器底部的高度相同，若将两点的高度都提高到A 液体的表面，则 M 点的液体压强为0，而N点没有在液体表面，所以 N点的液体压强大于0，由此可知PM
【答案】C
【解析】车轮也相当于一个变形的杠杆，其中车轮和台阶的接触点为支点O，依据杠杆平衡条件，在阻力和阻力臂不变的情况下，要想求解最省力的方法，需要找到最长的力臂，根据几何知识可知，支点和杠杆上距离支点最远的点的连线为最长力臂，所以垂直于力臂的力就是最小的推力，所以选C。
例题5
【答案】C
【解析】用极值法思考：把液体的密度适度夸大，比如是浸没在“铝水”(这里指的是与固体铝密度相同的一种液体)中，则铝块会悬浮，此时铝块对杠杆没有拉力作用，而铜块因其密度大于“铝水”的密度，故下沉，此时对杠杆仍然会有拉力的作用。所以杠杆不平衡，右端下沉。
例题6
【答案】
【解析】当电流表示数为. 时, 电阻R 两端电压为
滑动变阻器两端的电压 所以滑动变阻器连入电路的电阻最小为
当电压表示数最大为 时，R 两端电压为 电路电流为 0.3A；滑动变阻器接入电路的电阻最大为
针对训练
1. 【答案】B
【解析】本题中可以采用极限思维法，假设水流尽了，容器中没有水，则光线会直接照射到容器的底部，即光线会向右移动。
2. 【答案】B
【解析】井口的面积为S，一只青蛙在井底中心处，在没有水时，它看到天的大小S'会大于S，如图13(a)所示。当有水时，因为光线会发生折射，所以视线会变化。由于水的深度题目中没有说明，所以我们可以极限化，认为水的深度等于井的深度，则此时的光路图如图13 (b)所示。
通过作图可知，此时看到的天空大小S"大于S'。
3. 【答案】A
【解析】采用极限的思维，将沿水平方向截去相同的体积扩大为截去和乙物体相同的体积，则此时甲物体还剩余一部分，而乙物体则没有剩余，压力为零，压强也为零，故答案为 A。
4. 【答案】B
【解析】我们可以采用极限法，将截去的部分恰好定在和水面相平的位置，则以这个位置截去后，木块肯定下沉一些。
5. 【答案】AC
【解析】开始时，甲、乙质量相等，则对容器底部的压力相等，因为甲的面积小，所以PA>PB。采用极限的思维，因为开始时甲的体积和高度都比乙小，所以假如抽取甲那么多的体积和高度，则甲没有剩余液体，而乙还有剩余液体，则 所以中间肯定有两者压强相等的时候。
6. 【答案】A
【解析】冰块有部分露出水面，则我们可以用极限化的思想，把露出水面的冰块假设得很大，如图 14所示，则冰块融化后，液面肯定升高。
7. 【答案】B
【解析】根据杠杆平衡条件，左端的阻力和阻力臂没有发生变化，所以当求解最省力的情况下，即为力臂最大的情况。
8. 【答案】B
【解析】我们可以用极限的思维，如果截去的长度等于OA的长度，则左端截去全部，而右端还有剩余，所以长棒顺时针转动。
9. 【答案】A【解析】将题目中的水极限假设为和铁球密度相同的溶液，则将两个铁球同时浸没进去后，两个铁球都处于悬浮状态，所以两个铁球对杠杆的拉力都为零，则杠杆不受力，因此杠杆不会转动，仍然平衡。
10. 【答案】C
【解析】通过杠杆平衡条件可以知道，当力 F 和杠杆OA 垂直时，力 F 最小，所以力 F 在逆时针旋转过程中，应该是先变小，后变大。
11. 【答案】C
【解析】(1)R与滑动变阻器串联，电压表测滑动变阻器两端电压，电流表测电路中电流，根据欧姆定律判断电流表示数变化情况；
(2)根据电表量程，由欧姆定律求出滑动变阻器的取值范围；
(3)当电路中电流最大和最小时定值电阻功率有最大和最小值，由此根据电功率公式计算；
(4)由欧姆定律和电表所测的电压、电流值， UV/IA，由此分析可得电压表与电流表的示数比值变化情况。
12. 【答案】AD
【解析】当滑片位于最右端时，电路为R 的简单电路，此时 R 的功率最大，
则 故 A 正确,B不正确;
当滑动变阻器的最大阻值 R 与定值电阻 R 串联时，R 消耗的电功率最小，
根据欧姆定律可得，电路中的电流：
R 消耗的最小功率：
故 C 不正确,D 正确。
13. 【答案】A
【解析】由图5-16 (a)可知，滑动变阻器与电阻是串联的，电压表测滑动变阻器两端的电压，由图5-16(b)可以看出，当滑动变阻器滑片移到另一端的过程中，电压表示数增大4.5V，也就是说定值电阻两端的电压减小了4.5V，这一过程中，电路中的电流减小了0.9A，所以可得出定值电阻的阻值， 0.9A=5Ω, 所以可得出电源电压U=1.2A×5Ω=6V,由于电路中的最大电流为1.2A，最小电流为0.3A，故可知电路总功率的最小值为 1.8W，最大值为7.2W，故A 正确，B错误；定值电阻电功率的最小值为0.45W，最大值为7.2W，定值电阻电功率的变化为6.75W, 故CD错误, 应选A。
14. 【答案】如图15所示。
【解析】根据此杠杆的形状，从O 点到此杠杆的最右端距离最大，这是最长的力臂。所以力作用在杠杆的最右端，根据力臂的概念确定力的方向。
15. 【答案】平衡
【解析】采用极限思维的方法，三支蜡烛同时燃烧，极限的情况下，同时燃烧完，都没有剩余，而杠杆的质量也不计，所以此时仍然是平衡的。
16. 【答案】6; 30
【解析】当滑动变阻器接入电路的电阻为0时，电路电流最大，电阻R 的电功率最大为1.2W，
当滑动变阻器接入电路的电阻最大时，电路电流最小，电阻R 的电功率最小为0.3W，则根据串联电路电压特点可知：R 两端的电压为 U-3V,
所以，
由①②解得R =30Ω, U=6V。
17. 【答案】解: (1) 当S、S 闭合, S 断开, 且P位于a端时，电路为R的简单电路，
由 可得，电源的电压 6V;
(2) 当S、S 闭合, S 断开, 且P位于b端时, R与R 串联，此时电路中的总电阻 50Ω，因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，所以滑动变阻器的最大阻值
(3)灯泡的电阻 当S、S 闭合，S 断开，且P位于b端时，电路功率最小，则
答:(1) 电源电压为6V;
(2) 滑动变阻器 R 的最大阻值为40Ω;
(3) 当S、S 闭合, S 断开, 且P位于b端时, 电路功率最小，最小功率为0.69W。
