第三章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．[新考向 数学文化] 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国
汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了对勾股定理的证明，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标的设计基础就是“赵爽弦图”．下列图案中是“赵爽弦图”的是( )
A B C D
2．在直角三角形中，若两直角边长分别为6和8，则斜边长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是( )
A． a2＋b2＝c2 B． b2＋c2＝a2 C． a2＋c2＝b2 D．2c2－a2＝b2
4．[2024·枣庄台儿庄区月考]下列各组数是勾股数的是( )
A．3，4，7 B．1．5，2，2．5 C．5，12，13 D．1，3，5
5．如图，分别以直角三角形的三边为一边向外作正方形A，B，C．已知SA＝64，SB＝225，那么正方形C的边长是( )
(第5题)
A．15 B．16 C．17 D．18
6．[新考向 身边的数学] 海面上有一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，快艇的速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇与A处的距离为( )
A．25 km B．24 km C．7 km D．1 km
7．在△ABC中，若∠B＝38°，BC2－AC2＝AB2，则∠C的度数为( )
A．38° B．52° C．62° D．90°
8．如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠ABC＝( )
(第8题)
A．30° B．40° C．45° D．60°
9．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，将一根细线的两头绕盒子的侧面分别绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为( )
(第9题)
A．12 B．15 C．18 D．21
10． [新考向 折叠法] 如图，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是( )
(第10题)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
11．已知在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，若a＋b＝14，c＝10，则Rt△ABC的面积是( )
A．24 B．36 C．48 D．60
12．已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则( )
(第12题)
A． S1＞S2 B． S1＜S2
C． S1＝S2 D． S1，S2大小无法确定
二、填空题(每题3分，共18分)
13．[2023·枣庄月考]在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋AC2＋BC2＝ ．
14．[新考向 身边的数学] 一架飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶的正上方4 000 m处，过了10 s，该飞机距离这个男孩头顶5 000 m，则该飞机平均每小时飞行 km．
15．若△ABC的三边a，b，c满足(a－3)2＋｜5－c｜＝－(b－4)2，则△ABC的形状为 ．
16．[情景题 生活应用] 在高5 m，长13 m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，则地毯的长度至少是 m．
(第16题)
17．如图所示，这个长方体的宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面的高度BD＝8 cm．地面上A处的一只蚂蚁要爬到B处寻找食物，需要爬行的最短路程是 cm．
(第17题)
18．[2023·济南期末]如图，已知在△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝2，以AC为边向外作等边三角形ACD，连接BD交AC于点E，其中BD＝3，则AB的长为 ．
(第18题)
三、解答题(共66分)
19．(8分)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC＋1，求Rt△ABC的面积．
20．(8分) [情景题 生活应用] 将穿好彩旗的旗杆竖直固定在操场上，此时旗杆的高度为400 cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B＝90°，AB＝90 cm，BC＝120 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h．
21．(8分) [2023·泰安期中 新考向 数学文化] 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…．翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EA'＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(A'D＝5尺)，求秋千绳索OA的长度．
22．(10分) [2023·济南济阳区月考 新考向 知识情境化] 如图，学校的长方形操场ADCE的边上有一块空地(阴影部分)需要绿化，连接AC，测出AD＝4，AC＝5，BC＝12，AB＝13，求需要绿化部分的面积．
23．(10分) [2023·枣庄薛城区月考 情景题 生活应用] 如图，某社区在相邻两楼之间修建一个上面是以AB为直径的半圆，下面是长方形的仿古通道，已知AD＝2．3米，CD＝2米．现有一辆卡车装满家具后，高2．5米，宽1．6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．
24．(10分)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，试说明：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
25．(12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD(是一个长方形)倒下到AB'C'D'的位置，连接AC，AC'，CC'，设AB＝a，BC＝b，AC＝c．
(1)试用与a，b有关的代数式表示梯形BCC'D'的面积；
(2)试用与a，b，c有关的代数式分别表示△ABC，△AD'C'，△AC'C的面积；
(3)由(1)和(2)的结论证明勾股定理：a2＋b2＝c2．
答案
一、1． B 2． D 3． C 4． C 5． C 6． C 7． B 8． C
9． B 【点拨】将长方体盒子的侧面展开，如图所示，连接AB'，则AB'的长即为所用的最短细线长，由题意知AA'＝4＋2＋4＋2＝12，A'B'＝AB＝9，由勾股定理得AB'2＝AA'2＋A'B'2＝122＋92＝225，则AB'＝15，即细线的最短长度为15．
10． A 【点拨】由折叠知DN＝EN．设CN＝x cm，则EN＝(8－x)cm，由题意知EC＝BC＝4 cm．
在Rt△ECN中，EN2＝EC2＋CN2，
即(8－x)2＝42＋x2，
解得x＝3，即CN＝3 cm．故选A．
11． A 【点拨】在Rt△ABC中，c2＝a2＋b2＝100．
因为a＋b＝14，所以(a＋b)2＝196，
即a2＋b2＋2ab＝196，所以ab＝48，
所以S△ABC＝ab＝×48＝24．
12． C 【点拨】因为直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，所以该直角三角形的斜边为c，
所以c2＝a2＋b2，
由题意知S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，S2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，
所以S1＝S2，故选C．
二、13．8
14．1 080 【点拨】如图，由题意知AB＝4 000 m，AC＝5 000 m，
∠B＝90°．在Rt△ABC中，BC2＝AC2－AB2＝5 0002－4 0002＝9 000 000，所以BC＝3 000 m，所以该飞机平均每小时飞行＝1 080(km)．
15．直角三角形
16．17 【点拨】由题意知这段台阶的水平长度的平方为132－52＝122，故水平长度为12 m，由平移可知地毯的长度等于台阶的高度和水平长度的和，所以地毯的长度为12＋5＝17(m)．
17．17 【点拨】如图所示，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．在Rt△ABD中，
因为AD＝AN＋DN＝5＋10＝15(cm)，BD＝8 cm，
所以AB2＝AD2＋BD2＝152＋82＝172，
所以AB＝17 cm．
所以需要爬行的最短路程是17 cm．
18． 【点拨】如图，以AB为边向外作等边三角形ABF，连接CF，
因为△ABF，△ACD是等边三角形，
所以AF＝AB＝FB，AC＝AD，∠FBA＝∠FAB＝∠CAD＝60°，
所以∠FAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠FAC＝∠BAD．
在△ACF和△ADB中，
所以△ACF≌△ADB(SAS)，所以FC＝BD＝3，
因为∠ABC＝30°，
所以∠FBC＝∠FBA＋∠ABC＝90°．
根据勾股定理得FB＝＝，
所以AB＝．
三、19．【解】设BC＝x，则AB＝x＋1．
因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
所以AB2＝AC2＋BC2，
所以(x＋1)2＝52＋x2，解得x＝12，即BC＝12，
所以S△ABC＝AC·BC＝×5×12＝30．
20．【解】易知彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，连接AC，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝90 cm，BC＝120 cm，
所以AC2＝AB2＋BC2＝902＋1202＝1502，
所以AC＝150 cm，
所以h＝400－150＝250(cm)．
21．【解】设OA＝OA'＝x尺，
由题意知EC＝A'D＝5尺，AC＝1尺，
所以EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，OE＝OA－AE＝(x－4)尺，
在Rt△OEA'中，OE＝(x－4)尺，OA'＝x尺，EA'＝10尺，根据勾股定理得x2＝(x－4)2＋102，
整理得8x＝116，解得x＝14．5．
答：秋千绳索OA的长度为14．5尺．
22．【解】在Rt△ACD中，AD＝4，AC＝5，则由勾股定理可得CD＝3．
在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
所以AC2＋BC2＝25＋144＝169，AB2＝132＝169，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，
所以需要绿化部分的面积＝S△ABC－S△ACD＝×5×12－×3×4＝24．
答：需要绿化部分的面积为24．
23．【解】这辆卡车能通过这个通道．
理由：因为卡车宽1．6米，
所以要求卡车能否通过，只需比较距通道中轴线0．8米处的通道高度与车高即可．
如图，在Rt△OEF中，由勾股定理得EF2＝OE2－OF2＝12－0．82＝0．36，所以EF＝0．6米．
所以EH＝EF＋FH＝0．6＋2．3＝2．9(米)．
因为2．9＞2．5，所以这辆卡车能通过这个通道．
24．【解】(1)因为在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，所以CB＝2CD＝16，CA＝2CE＝12，
易知CB2＋CA2＝162＋122＝400，AB2＝202＝400，
所以CB2＋CA2＝AB2，所以∠C＝90°．
(2)因为在△ABC中，E为边AC的中点，AE＝6，
所以AC＝2AE＝12，
在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD＝13，AC＝12，由勾股定理可得CD2＋AC2
＝AD2，所以CD＝5，所以CB＝2CD＝10，所以S△ABC＝AC·CB＝×12×10
＝60．
25．【解】(1)梯形BCC'D'的面积＝(a＋b)2．
(2)由题意知∠CAD＝∠C'AD'，∠CAC'＝∠CAD＋∠B'AC'，∠B'AC'＋∠C'AD'
＝90°，
所以∠CAC'＝90°，
所以△ACC'为直角三角形．
易知S△ACC'＝c2，S△ABC＝S△AD'C'＝ab．
(3)由题图可知S梯形BCC'D'＝S△ACC'＋S△ABC＋S△AD'C'，
所以(a＋b)2＝c2＋2×ab．
整理得a2＋b2＝c2．
