惠安县2023—2024学年度下学期七年级期末教学质量检测
数学试题
（考试满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有解答必须填写到答题卡相应的位置上．
学校________姓名________考生号________
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．方程的解是
A． B． C． D．
2．正六边形的外角和是（）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数是
A．20° B．10° C．15° D．5°
4．如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，设米，则a的取值范围是
A． B． C． D．
5．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟，下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
6．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是
A． B．
C．D．
7．若是关于x，y的二元一次方程，则
A．1 B．±2 C．2 D．－2
8．使不等式成立的a值中，最大的整数是
A． B． C． D．
9．我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问所分的银子共几两？（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这一成语）．设有x人，银子有y两，下列方程组正确的是
A． B．C． D．
10．三个边长分别为a，b，c（）的正方形按如图放置，则图中阴影部分的面积可表示为
A． B．
C． D．
二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．
11．已知方程，用含x的代数式表示y，则________．
12．写出仅用一种正多边形能把地面铺满的是________．（写出一种即可）
13．数轴上，点A，B分别表示数，，且点A在点B的左侧．则m的取值范围为________．
14．已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是________．
15．如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AB'C'，点C恰好落在AB上，连接BB'，若，则________．
16．如图，四边形ABCD中，，，作于E，若四边形ABCD的面积是4，则________．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于E、F．
（1）判断图形的面积关系：________；
（2）若，，，求四边形BCFE的周长．
21．（8分）为了加强体育锻炼，班级准备购进一批排球和篮球．已知排球的单价比篮球的单价少20元，用1200元购买篮球的数量和用900元购买排球的数量相等．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）若班级准备购买篮球和排球共12个，且排球不超过篮球数量的两倍，设购买篮球和排球所需总费用为y元，购买排球a个，求y与a之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案．
22．（10分）矩形ABCD中，，．
（1）尺规作图：求作一点E，使得△AEC和△ABC关于对角线AC对称；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设CE与AD相交于点F，求△ACF的面积．
23．（10分）某数学兴趣小组以“脚长与标准鞋码（欧码）的对应关系”为主题，开展综合实践活动．已知鞋子尺码，又叫鞋号，常见有以下标法：国际、欧洲、美国和英国．国际标准鞋号表示的是脚长的毫米数．中国标准采用毫米数或厘米数为单位来衡量鞋的尺码大小．而欧洲码数（欧码）则以20～0之间的整数作为码数大小．小组同学通过收集数据、建立函数模型来研究该问题，研究过程如下：
（ⅰ）收集数据
脚长（单位：mm） … 235 238 245 253 255 …
对应鞋子的码数（欧码） … 37 38 39 40 41 …
（ⅱ）建立模型，在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是________；（填“正比例函数”、“一次函数”或“反比例函数”）
（ⅲ）求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在函数图象上，根据（ⅱ）所选择的函数类型，求出该函数的表达式；
（ⅳ）解决问题：根据个人脚长，选择购买合适码数的鞋子．
阅读以上材料，解决下面问题：
（1）完成小组同学的研究过程（ⅱ）；（要求在坐标系中描点，画出最恰当的函数图象，并指出其函数类型）
（2）求出对应函数的表达式；
（3）若某同学的脚长为268mm，请为他挑选合脚且尽量宽松的鞋子码数．
24．（12分）定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，，则方程为“差解方程”，根据题意，解决下面问题：
（1）方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”；
（2）关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；
（3）若是“差解方程”，试求k的值．
25．（14分）小明学习“图形的旋转”以后，对数学很感兴趣，于是亲自动手剪出2块等腰直角三角形△ABC和△CDE纸片，，，，并按如图1放置，进行数学探究．
（1）实践与探究
探究一：如图1，连结AD，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，请在图1中画出这对全等三角形，并写出AD与其对应线段的数量关系，即________；
探究二：如图2，连结AE，BD得到△ACE和△BCD．问这两个三角形的的面积是否相等？请说明理由．
（2）发现新结论
探究三：把原来等腰直角三角形△ABC改为一般△ABC如图3所示，分别以△ABC的三边向外侧作正方形ACDE、BCFG和ABMN，发现图中3个阴影三角形的面积之和存在最大值，设，，求出其最大值．
惠安县2023—2024学年度下学期七年级期末教学质量检测
参考答案与评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（每题4分，共10小题40分）
1．A2．B3．C4．D5．D6．C7．C8．C9．A10．B
二、填空题（每题4分，共6小题24分）
11．；12．等边三角形（正三边形或正方形或正六边形，写出一种即可）；
13．；14．－6；15．60°；16．2
三、解答题（共9道题86分）
17．（8分）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18．（8分），
解：把①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
∴原方程组的解是．
19．（8分）
解：由①得，
由②得，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示．
∴原不等式组的解集是．
20．（8分）解：如图，（1）即为所求的；
（2）即为所求的；
（3）点P即为所求作的点．
21．（8分）证明：△ABC中，，
∵∠ACD是△ABC中∠ACB的一个外角，
∴，
∴．
22．（10分）解：（1）设跳绳单价为x元/条，毽子的单价为y元/个，根据题意，得
解得
答：跳绳单价为19元/条，毽子的单价为7元/个．
（2）设B班级的跳绳最多能买m条，则可以买毽子个，根据题意，得
解此不等式得，，
∵m为正整数，
∴m的最大整数解为20，
答：B班级的跳绳最多能买20条．
23．（10分）解：（1）∵，，
∴
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴
∵CD是AB边上的高，
∴
∴
∴
∴．
（2）（方法一）如图1，∵CE是∠ACB的角平分线，
∴
∵，
∴，
∵，
又∵
∴．
∵FG是AB边上的高，
∴
∴，
∴，
整理，得（或）
（方法二）如图2，过点C作于点P
∵
∴，
∵
∴
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴
∵
∴
∴（或）
24．（12分）解：（1）不是；
（2）∵一元一次方程是“差解方程”，由题意，得
，
又∵，
∴，
解得；
（3）∵，
∴k是方程（）的一个解，
∴，
由定义，得，
∴，
∴，
下面分两种情况讨论：
当时，即，又已知，故此方程无解，则k不存在；
当时，．
25．（14分）解：（1）如图1，BE；
（2）．理由如下：
（方法一）如图2，∵，
∴将△ACE绕点C顺时针方向旋转90°得到△A'CD，
∴，且，
∴，，即A'、C、B三点共线，
∵DC为三角形△A'DB的A'B边上的中线．
∴∴
（方法二）如图3，∵，，
∴将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△FCE，即．
∵，
又
∴
由旋转性质，得，，
∴
∴点A、C、F三点共线．
∵，
∴，即EC为三角形△AEF的AF边上的中线．
∴
∴
（3）如图4，连结CE、BN，
由（2）可知，
同理可得，
∴
设，，BC边上的高为h，如图5．
则，
∵，
∴当，即时，．
∴阴影部分的面积和的最大值为．
