第 1课时 平行四边形的性质
基础知识夯实
知识沉淀
1.知识储备：
(1)平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.
(2)平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
2. 的四边形叫做平行四边形.
3.平行四边形的性质：
(1)平行四边形的对边 且 .
(2)平行四边形的对角 .
(3)平行四边形的对角线互相 .
4.两条平行线之间的距离：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离.
基础过关
1.如图,在□ABCD中,若 BC=4,周长为14,则AB的长为 ( )
A.3
B.4
C.7
D.8
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定成立的是 ( )
A.∠BDC=∠ABD
B.∠DAB=∠DCB
C. AD=AC
D. OA=OC
3.如果在□ABCD中，两个邻角的大小之比是5：4，那么其中较小的角等于 .
4.已知直线a∥b,点 M到直线a 的距离是 4 cm,到直线b的距离是 2cm ，那么直线 a 和直线b之间的距离为 .
典型案例探究
知识点 1 平行四边形的边角性质
【例题1】如图,在 ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:AF=CE.
【变式1】如图,在 ABCD 中,点 E,F 分别是边 BC,AD的中点,求证:△ABE≌△CDF.
知识点 2 平行四边形的对角线性质
【例题2】已知:如图,在□ABCD中,对角线 AC,BD 交于点(O,AB⊥AC,AB=1,BC= .
(1)求 ABCD的面积S ABCD;
(2)求对角线 BD的长.
【变式2】如图,已知 ABCD的周长是60,对角线 AC,BD 相交于点O.若△AOB的周长比△BOC 的周长长8,求 AB,BC的长.
课后作业
A 组
1.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,连接 DE并延长交AB 的延长线于点 F，则在题中条件下，下列结论不能成立的是 ( )
A. BE=CE B. AB=BF
C. DE=BE D. AB=DC
2.如图,在 ABCD中,DE平分∠ADC,AD=8,BE=3,则 ABCD的周长是 ( )
A.16 B.14
C.26 D.24
3.如图,□OABC的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(6,0),(2,4),则点 B的坐标为 .
4.如图,已知 ABCD 的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为 .
5.已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是 .
6.如图, ABCD的对角线AC与BD 相交于点O,AB 求 AD,BC间的距离.
7.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,E 是AD的中点，过A点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形 AFBD的形状,并证明你的结论.
B 组
8.如图,在△ABC中,AD,BE分别是边 BC,AC上的中线,AD 与BE 交于点O,点 F,G 分别是 BO,AO的中点,连接 DE,EG,GF,FD.
(1)求证:FG∥DE;
(2)若AC=BC,求证:四边形EDFG是矩形.
9.如图,已知△ABC为等边三角形,CF∥AB,点 P 为线段AB 上任意一点(点 P 不与A,B重合),过点 P作PE∥BC,分别交 AC,CF于点G,E.
(1)四边形 PBCE是平行四边形吗 为什么
(2)求证:CP=AE;
(3)试探索:当 P为AB 的中点时,四边形 APCE 是什么样的特殊四边形 并说明理由.
C 组
10.(1)已知矩形 ABCD 和点 P,当点 P 在边 BC 上时[如图(1)],求证:
(2)请你探究：当点 P 分别在图(2)、图(3)中的位置时，(1)中的结论是否成立 并证明你的结论.
18.1 平行四边形
第 1课时 平行四边形的性质
【基础知识夯实】
知识沉淀
2.两组对边分别平行
3.(1)平行 相等 (2)相等 (3)平分
基础过关
1. A 2. C 3.80° 4.2cm 或 6 cm
【典型案例探究】
例题1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠DAF=∠BCE.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,
∴∠AFD=∠CEB=90°.
在△AFD和△CEB中,
∴△AFD≌△CEB.∴AF=CE.
变式1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵点 E,F分别是边BC,AD的中点,
又 AD=BC,∴BE=DF.
在△ABE与△CDF 中
∴△ABE≌△CDF.
例题2解:(1)在 Rt△ABC中, 则 S□ABCD=AB×AC=2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,BO=OD.
∴AO=1.
在 Rt△ABO中,
变式2 解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,AB=CD,AD=BC.
∵AB+BC+CD+DA=60,
(OA+AB+OB)-(OB+BC+OC)=8,
∴AB+BC=30,AB-BC=8.
∴AB=19,BC=11.
【课后作业】
1. C 2. C 3.(8,4) 4.14 5.70°
6.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又 则OA +AB =OB , ∴∠BAO=90°.
设 AD,BC间的距离为d,
由平行四边形的面积可得AB·AC=BC·d,
7.(1)证明:∵AE,BF 分别平分∠DAB 和∠ABC,
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∴AE⊥BF.
(2)解:DF=CE.
证明如下:∵AE平分∠DAB,∴∠EAB=∠EAD.
∵DC∥AB,∴∠EAB=∠AED.
∴∠DAE=∠DEA.
∴AD=DE.
同理:FC=BC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC.∴DE=FC.∴DF=CE.
8.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,CD=AB,AB∥CD.
∴∠AEB=∠CBF,∠ABE=∠F=20°.
∵∠ABC的平分线交 AD 于点E,
∴∠ABE=∠CBF.∴∠AEB=∠ABE=20°.
(2)∵AE=AB=5,AD=BC=8,CD=AB=5,∴DE=AD-AE=3.
∵CE⊥AD,
∴□ABCD的面积=AD·CE=8×4=32.
9.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠A=∠C,AD∥CB,AB∥CD.
∴∠ADB=∠CBD.
∵ED⊥DB,FB⊥BD,
∴∠EDB=∠FBD=90°.∴∠ADE=∠CBF.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(ASA).
(2)如图,作 DH⊥AB,垂足为点 H,在 Rt△ADH中,∠A=30°,∴AD=2DH.
在 Rt △DEB中,∠DEB=45°,
∴EB=2DH.
∵ED⊥DB,FB⊥BD.∴DE∥BF.∵AB∥CD,
∴四边形EBFD为平行四边形.
∴FD=EB.∴DA=DF.
