第5课时 正方形的性质
基础知识夯实
知识沉淀
1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2.正方形的性质：
(1)对边平行、四边 .
(2)四个角都是 .
(3)对角线互相 、 且 ,每条对角线平分一组对角.
基础过关
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对角线平分一组对角
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
2.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为对角线AC 上一点,且AE=AB,则∠BEA的度数是 度.
典型案例探究
知识点 正方形的性质
【例题】如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O, E为OC 上一点,OE=1,连接BE,过点 A 作AF⊥BE于点F,与 BD交于点G.
(1)BE与AG 相等吗 若相等，请证明，若不相等，请说明理由；
(2)求 AF的长.
【变式】如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB 的延长线上的点,且 DE=BF,连接 AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)若 BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
课后作业
A 组
1.如图，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则∠1 的度数可能是 ( )
A.44° B.45° C.46° D.47°
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角为直角 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.对边平行且相等
3.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ODA 交OA 于点E,若 AB=4,则线段OE的长为 ( )
C.
4.如图,正方形ABCD的周长为28cm,则矩形MNGC的周长是 cm.
5.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与 BC交于点 G,若∠ABE=55°,则∠EGC= .
6.如图，点 P 是正方形ABCD 的边BC上的任意一点，连接AP,作 DE⊥AP,垂足为点 E,BF⊥AP,垂足为点 F.求证:DE=BF+EF.
7.如图,在正方形ABCD 中,点G 在对角线BD 上(不与点 B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC 于点F,连接AG.
(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
(2)若正方形 ABCD 的边长为1,∠AGF=105°,求线段 BG 的长.
B 组
8.如图,在正方形 ABCD 中,点 F 是 BC 延长线上一点,BE⊥DF,垂足为E,BE交CD 于点G.
(1)求证:BG=DF;
(2)求证:
9.如图,正方形ABCD 的边长为2,对角线 AC 与BD相交于点O,P在对角线AC 上,且AP=3CP,F是线段OB 上一个点，连接PF并延长，交 AB 于点E，F 是 PE 的中点.
(1)求 CP 的长;
(2)求 BE 的长;
(3)连接 DE,求∠DEP 的度数.
C 组
10.如图(1),已知A,B为直线l上两点,点 C 为直线l上方一动点,连接AC,BC,分别以 AC,BC为边向△ABC外作正方形ACDF 和正方形CBEG,过点D 作 DD ⊥l于点 D ,过点 E 作 EE ⊥l于点 E .
(1)如图(2),当点 E 恰好在直线 l 上时(此时 E 与E 重合),求证:
(2)在图(1)中,当D,E 两点都在直线l 的上方时,试探求三条线段 DD ，EE ，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图(3)，当点 E 在直线l 的下方时，请直接写出三条线段 DD ,EE ,AB 之间的数量关系.(不需要证明)
【基础知识夯实】
知识沉淀
2.(1)相等 (2)直角 (3)垂直 平分 相等
基础过关
1. C 2.67.5
【典型案例探究】
例题 解:(1)BE=AG.
理由如下:∵AF⊥BE,
∴∠AFE=∠OAG+AEF=90°.
∵四边形 ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AO=BO.
∴∠AOG=∠OAG+∠AGO=90°.
∴∠AEF=∠AGO.
在△AOG和△BOE中.
∴△AOG≌△BOE(AAS).
∴AG=BE.
(2)∵△AOB是等腰直角三角形,且 ∴BO=3.
∵OE=1,∴AE=3+1=4.
由勾股定理，得
变式(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°.
而 F 是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°.
在△ADE 和△ABF中, ∴△ADE≌△ABF(SAS).
(2)解:∵BC=8,∴AD=8,在 Rt△ADE中,DE=6,AD=8.
∵△ADE≌△ABF,
∴AE=AF,∠DAE=∠BAF.
∴∠EAF=∠DAB=90°.
∴△AEF的面积
【课后作业】
1. A 2. A 3. B 4.14 5.80°
6.证明:∵ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90°.
∵DE⊥AP,∴∠DEP=∠AED=90°.
∴∠ADE+∠DAE=90°.
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
∵BF⊥AP,∴∠AFB=∠DEA=90°.
在△ABF 与△DAE中,
∴△ABF≌△DAE(AAS).∴BF=AE,DE=AF.
∵AF=AE+EF,∴DE=BF+EF.
7.解:(1)结论:
理由如下：连接CG.
∵四边形 ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADG=∠CDG=45°.
又 DG=DG,∴△ADG≌CDG.∴GA=GC.
∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点 F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°.
∴四边形 EGFC是矩形.
∴CF=GE.
在 Rt△GFC中,
(2)过点 A 作AH⊥BG于 H.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ABD=∠GBF=45°.
∵GF⊥BC,∴∠BGF=45°.
∵∠AGF=105°,
∴∠AGB=∠AGF--∠BGF
△ABH 是等腰直角三角形，AB=1,
在 Rt△AGH中,
∴AG=2HG,由勾股定理可得
8.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°,BC=DC.
∵BE⊥DF,∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F.
∴∠CBG=∠CDF.
在△CBG和△CDF 中.
∴△CBG≌△CDF(ASA).
∴BG=DF.
(2)如图,过点 C作CM⊥CE交BE于点M,
∵△CBG≌△CDF,
∴CG=CF,
∠F=∠CGB.
∵∠MCG+∠DCE =∠ECF+∠DCE=90°,
∴∠MCG=∠ECF.
在△MCG 和△ECF中,
∴△MCG≌△ECF(ASA).∴MG=EF,CM=CE.
∴△CME 是等腰直角三角形.
又∵ME=MG+EG=EF+EG,
9.解:(1)∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=BC=2,∠ABC=90°.
∴在Rt△ABC中,AC=2 .
(2)解法一:如图(1),取 OA的中点 G,连接 EG,则OP
∵F是PE的中点,∴EG∥OF.
∴∠AGE=∠AOB=90°,∠AEG=∠ABO=45°.
∴△AGE 是等腰直角三角形.
∵BE=AB-AE=2-1=1.
解法二:如图(2),取 PA 的中点 G,连接 FG,同理可求.
解法三:如图(3),取 OD 的中点 G,连接 PG,同理可求.
(3)如图(4),连接 DP,过点 P 作 MQ∥BC 交 AB,CD于点Q,M,PN⊥BC于点N,
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AC平分∠BCD.
∴PM=PN.
∵ ∠NCM = ∠PNC =∠PMC=90°,
∴四边形 PMCN是正方形.
同理：四边形 PNBQ是矩形.
由(2),得 BE=1,∴EQ=QB=PM= .
∴△PMD≌△EQP.∴PD=PE,∠MDP=∠QPE.
∵∠MDP+∠MPD=90°,
∴∠QPE+∠MPD=90°,即∠DPE=90°.
∴△DPE是等腰直角三角形.
∴∠DEP=45°.
10.(1)证明:如图(2),
∵四边形 CADF,CBEG是正方形,
∴AD=CA,∠DAC=∠ABC=90°.
∴∠DAD +∠CAB=90°.
∵DD ⊥AB,∴∠DD A=∠ABC=90°.
在△ADD 和△CAB中 ∴△ADD ≌△CAB(AAS).∴DD =AB.
(2)解:AB=DD +EE .
理由如下:如图(1),过点C作CH⊥AB于 H.
∵DD ⊥AB,∴∠DD A=∠CHA=90°.
∴
∵四边形 CADF 是正方形,
∴AD=CA,∠DAC=90°.
在△ADD 和△CAH中.
∴△ADD ≌△CAH(AAS).∴DD =AH.同理可得△BEE ≌△CBH,则.
∴AB=AH+BH=DD +EE .
(3)解:
如图(3),过点 C作CH⊥AB于点H,
同(2)可得 DD =AH,EE =BH,
∴AB=AH-BH=DD -EE .
