2023-2024学年湖北省襄阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为的样本若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为( )
A. B. C. D.
4.九章算术问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈．问积几何．今译：已知正四棱台体建筑物方亭如图，下底边长丈，上底边长丈，高丈．问它的体积是多少立方丈？( )
A. B. C. D.
5.甲在微信群中发布元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到元，则乙获得“最佳手气”即乙领到的钱数不少于其他任何人的概率是( )
A. B. C. D.
6.水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是( )
A. 长方体 B. 圆台 C. 四棱台 D. 正四面体
10.疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则( )
A. 图中
B. 在份有效样本中，短视频观众年龄在岁的有人
C. 估计短视频观众的平均年龄为岁
D. 估计短视频观众年龄的分位数为岁
11.已知是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是( )
A. B. C. D.
12.如图，已知，均为等边三角形，，，分别为，，的中点，为内一点含边界，，下列说法正确的是( )
A. 延长交于，则
B. 若，则为的重心
C. 若，则点的轨迹是一条线段
D. 的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占，食品饮料类占，家居生活类占，美妆护肤类占，其他占为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有件，则家居生活类有______件
14.如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，，则异面直线与所成的角是______．
15.如图，在中，点是斜边的中点，点在边上，且，，，则______．
16.已知，且实数，，满足，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，满足，．
若，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，．
求正三棱柱的表面积；
求证：直线平面．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面四边形为正方形，顶点在底面的射影为线段的中点，是的中点，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求过点，，的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．
20.本小题分
在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解．问题：如图，在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，，，若______．
Ⅰ求角的值；
Ⅱ求的值．
21.本小题分
如图，在正六边形中，，为上一点，且，，交于点．
Ⅰ当时，试用，表示；
Ⅰ求的取值范围．
22.本小题分
某校有高中生人，其中男女生比例约为：，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：
方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图．
方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本容量均为的样本，计算得到男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为．
身高单位：
频数
根据图表信息，求，并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表
计算方案二中总样本的均值及方差；
计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：若，
则由平方得．
即，则．
若，
则由平方得．
即，则．
则．
18.解：．
证明：取和交点，连，
，分别为，中点，故AB．
平面，平面．
平面．
19.证明：取的中点，连接，，
因为是的中点．
所以，且，
因为底面是正方形，顶点在底面的射影是线段的中点，
所以且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：，，，，，，四点共面，
四边形为符合题意的截面，
取的中点，连接，，交于点，
则平面平面，交线为，，，
易知为的中点，
易知，则可得平面，
，
，
，：：．
20.解：选，
由余弦定理可得，，
，．
选，
，，，
，．
选，
，，
，．
，，又，
，即，
，
，
．
21.解：由正六边形性质可知，，
因为，所以，
所以，
记，，
则，，
将代入整理得，
因为、、共线，所以，即，
又，
，，
所以，
将代入上式整理可得，
令，则，
由对勾函数可知，当在区间上单调递减，
所以当时，取得最大值；当时，取得最小值．
所以的取值范围为．
22.解：因为身高在区间的频率为，频数，
所以，
故，
，
，
所以身高在区间的频率为，在区间的频率为，
由此可补充完整频率分布直方图：
由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：
；
把男生样本记为，，，，其均值记为，方差记为；
把女生样本记为，，，，其均值记为，方差记为，
则总样本均值，
又因为，
所以，
同理可得，
所以总样本方差
；
两种方案总样本均值的差为．
用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，
原因为：没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差．
第1页，共1页
