2023-2024学年江西省赣州市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，且，共面，则
4.已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
5.勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，则有( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱柱中，底面，，，，，为上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有当，时，恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量的说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C. 若与不共线，且，则
D. 若且，则
10.在中，，，，为内含边界任意一点，则( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则最大值为
11.如图，已知正方体的棱长为，点是的中点，点是正方体内含表面的动点，且满足，则( )
A. 动点在底面内轨迹的长度是
B. 点所在平面截正方体所得截面的面积为
C. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.位于水东镇的和谐钟塔是赣州市标志性建筑，高度约为塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，且，则，两点间的距离为 结果保留根号
14.已知一个正四棱台的上下底面边长之比为，体积为，若此正四棱台的内切球存在，则这个内切球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式及对称中心
将的图象向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面，与平面所成角为，为线段上的点．
若为线段的中点，证明：平面
若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥的体积．
17.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且．
求
若，，的平分线交于点，求的长．
18.本小题分
如图，点在直径为的半圆上，垂直于半圆所在的平面，平面，且．
证明：平面平面
若，，异面直线与所成的角是，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，请求出的值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”．
记的“友函数”为，求函数的单调递增区间
设，其中，求的“友向量”模长的最大值
已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据函数的部分图象，可得；
因为，所以；
根据五点作图法，可得，，
又因为，所以，
所以，
由，，可得，，
故图象的对称中心为，，
将的图象向右平移个单位，得，即，
因为，所以，
所以当，即时，，
当，即时，，
所以函数在的值域为．
16.证明：如图，连接交于，连接．
因为底面是正方形，所以为的中点，又点为线段的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
解：因为为与平面所成的角，所以，为等腰三角形，，
因为点为线段上靠近的三等分点，所以点到平面的距离为，
所以，
所以．
17.【解答】解：由，得，
即，
利用二倍角公式和边化角可得：，
即，所以，
因为，所以，
因为，所以，又因为，即．
由及余弦定理得，即，
又因为，所以，
因为，
所以，所以．
18.解：因为点在半圆上，为直径，所以，
而平面，平面，于是，
又，，平面，则有平面，
由知点，，，共面，又平面，
平面平面，平面，因此，即有平面，
又平面，所以平面平面．
如图，过点作垂直于，并连接，
因为垂直于半圆所在的平面，且平面．
所以．
又因为，且，
所以平面．
由平面，得，
所以为二面角的一个平面角．
因为，所以．
又因为异面直线与所成的角是，所以，
在中，，
由，得，
所以．
设，则，
由，即，
得，
解得，或舍，
所以，
故．
19.解：向量的“友函数”，
当，时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为，
因为
，
所以函数的“友向量”，
．
，
所以当，即，时，；
向量的“友函数”，
其中，，，
当，即时，取得最大值，此时，，
，
令，则由，显然，
则，
解得，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以，
故．
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