2023-2024学年江苏省南京市江宁区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.若展开式中的常数项为，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“两条直线，”平行的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球，连续摸两次记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是( )
A. 与为互斥事件 B.
C. D.
7.已知中，，，则将以为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别，是上一点在第一象限，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D. 若，则
10.若正数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点满足，则( )
A. 平面平面
B. 任意，三棱锥的体积是定值
C. 周长最小值为
D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，，，则 ______．
13.即将暑假，小明一家人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有个座位家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有______种不同的乘坐方式．
14.如果函数在区间上为增函数，则记为；函数在区间上为减函数，则记为如果且，则实数的最大值为______；如果函数，且，，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，角，，的对边分别是，，，且，．
求；
若面积为，求边上中线的长．
16.本小题分
已知函数其中为常数．
当时，求函数的单调区间；
求函数在上的最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，为中点．
求证：面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
在直角坐标系中，动圆经过点且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线直线其中为非零常数与曲线交于，两点，设曲线在点，处的切线分别为和，已知和分别与轴交于点，与的交点为．
求曲线的轨迹方程；
求点的横坐标；
已知与面积之比为，求实数的值．
19.本小题分
年月日，南京首家开市客超市开业，开市客超市是一家会员制超市，办了会员便可以携同伴进入购物据统计，开业第一天人流量超过三万人，且大多组团来逛超市，如果单独一人逛超市，则视此人为单独一个团体其中的团体拥有一张会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋一个；另外的团体拥有两张及以上会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋两个假设每个团体之间相互独立，且将频率看作概率．
随机抽取个团体，记个团体收到超市赠送的精美布袋总个数为，求的分布列和期望；
将个团体获赠精美布袋总个数为个的事件概率记为，求；
如果你是开市客超市负责人，预计某时间段有个团体来超市购物，若以需要赠送精美布袋总个数概率最大为依据，请问你应该提前准备多少精美布袋比较合理并与该时间段内需要赠送精美布袋总个数的期望比较大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据，由正弦定理得，
所以，即，
结合、为三角形的内角，可得或，即，或．
因为中，，所以不成立，即，
综上所述，角的大小为．
由的结论，可得，
根据题意，面积，即，
可得，解得舍负．
设的中点为，可得，，
在中，由余弦定理得，
所以边上中线的长为舍负．
16.解：当时，，，
令解得；所以的单调递增区间为，
令解得，所以的单调递减区间为．
，，
当时，，在上单调递增，；
当时，，在上单调递增，；
当时，令和分别解得和，
则在上单调递减，单调递增，；
当时，，在上单调递减，；
综上所述：当时，，
当时，，
当时，．
17.解：证明：取的中点设为，连接、，由题意可知、分别为、的中点，
则，且
，，，，
且，
且，
四边形为平行四边形，
，
且面，面，
面；
由题可知平面，，故、、两两垂直，
则以为原点，、、分别为、、轴正方向建系，
，，，，，，
，，
易知平面，则面法向量为，
设面法向量为，
则
令，得，
，，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：因为动圆经过点且与直线相切，
所以圆心到点的距离等于圆心到与直线的距离，
故曲线的轨迹为抛物线，且以为焦点，以为准线，
故曲线的轨迹方程为：；
由得，设，，，
所以直线 ，直线 ，
联立直线和抛物线，消去得：，则，即，
故，，
联立，解得：，，
即，故点横坐标为；
因为 ，令，得，
，令，得，
所以，
设中点为点，则，
将代入得，
所以
，
所以，
已知且，
解得：或．
19.解：根据题意，获得一份精美布袋概率为，获得两份精美布袋概率为，
则精美布袋个数的可能取值为，，，，
其中，
，
，
，
的分布列为：
．
因为个团体获赠精美布袋总数为个，则只有团体获得两份精美布袋，其余个团体获得一份精美布袋，
于是，
则，
，
两式相减得：
，
．
设获得一份精美布袋的团体个数为，
则获得两份精美布袋的团体个数为，
因此获得精美布袋总个数为，
此时精美布袋总个数为的概率，
当此概率取最大值时，必有，
，整理得
解得，而，则，则，
精美布袋总个数取最大值时，，
由于获得一份精美布袋概率为，获得两份精美布袋概率为，
故一个人获得精美布袋期望为，
此概率模型符合二项分布，故个团体对应期望值为，
从以上结果来看，获取个布袋的概率最大，数值与总布袋获取的期望相等．
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