2023-2024学年浙江省杭州市西湖高级中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若为虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
6.已知非零向量满足，且，则的夹角为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若，则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
11.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是( )
A. 直三棱柱的侧面积是
B. 直三棱柱的外接球表面积是
C. 三棱锥的体积与点的位置无关
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知为的边上一点，，，，则 ______．
14.已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？
为实数；
为虚数；
为纯虚数．
16.本小题分
如图，在菱形中，．
若，求的值；
若，，求．
17.本小题分
已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为的中点；
求该三棱柱的体积与表面积；
求三棱锥的内切球半径．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，若；
求；
若，试判断的形状．
若，求的面积的最大值．
19.本小题分
对于函数，，，如果存在实数，，使得，那么称函数为与的生成函数．
已知，，，是否存在实数，，使得为与的生成函数？若不存在，试说明理由；
当，时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；
设函数，，，，生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：复数是实数，则，
所以或 ．
复数是虚数，则，
所以且．
复数是纯虚数，则，
所以．
16.解：因为在菱形中，．
故，
故，所以．
显然，
所以
，
因为菱形，且，，故，．
所以．
故式．
故．
17.解：该三棱柱的体积，
表面积；
，
；
，，
，则，
，
则三棱锥的表面积为，
设三棱锥的内切球半径为，则，
即．
18.解：因为，由正弦定理可得，
因为，，则，，可得，
即，所以．
由可知：，
由余弦定理可得：，
又因为，即，
可得，整理得，即，
所以为等边三角形．
由可知：，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积的最大值为．
19.解：因为，
取，
故，
故存在实数，使得为与的生成函数；
若存在，则，故，
所以，
故；
依题意可得，，
令，可得，即或，
令或，
结合图象可知，
当时，的图象与直线只有一个交点，
所以实数的取值范围为．
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