湖北省七市州新高考联考协作体2023-2024学年高一下学期7月期末考试
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法中正确的是（ ）
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线
C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D.过圆锥顶点的截面中轴截面面积最大
2.当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若空间中四条不同的直线满足，则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C.既不垂直也不平行 D.的位置关系不确定
4.已知是两个不同的平面，是内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.（ ）
A. B.-1 C.1 D.
6.在中，点满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据各自的统计如下结果，则可以判断出一定有出现点数6的是（ ）
A.平均数为2，中位数为1 B.中位数为3，众数为2
C.中位数为3，方差为2.0 D.平均数为3，方差为2.4
8.在中，已知.点是边上靠近的三等分点.的长等于边上的高，则（ ）
A.3 B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成不规则形态，图（3）形成“右拖尾”形态，根据所给图形作出以下判断，正确的是（ ）
A.图（1）中平均数中位数众数
B.图（2）中众数<平均数
C.图（3）中众数<中位数<平均数
D.图（3）中众数<平均数<中位数
10.平面向量，满足，对任意实数恒成立，则（ ）
A.与的夹角为
B.为定值
C.的最小值为
D.在上的投影向量为
11.在矩形中，，点是的中点，将沿翻折到，连接得到四棱锥，在翻折到的过程中，二面角的大小为，下列说法正确的是（ ）
A.当四棱锥体积的最大值为时，
B.当时，三棱锥的外接球表面积为
C.若是的中点，则存在使与平面不平行
D.当时，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则复平面内满足的点的集合的图形面积是__________.
13.已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足，则__________.
14.如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高.现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明.证明过程或演算步骤
15.（本小题满分13分）
如图，单位圆与轴交于两点，为圆上一动点，.
（1）若，设点为线段上的动点，求的最小值；
（2）若，向量.求的最大值及对应的值.
16.（本小题满分15分）在中，内角的对边分别是.
（1）求角的大小；
（2）设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长.
17.（本小题满分15分）如图所示，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，点是的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在长二遥十八运载火箭的托举下，成功将叶光富 李聪 李广送到中国空间站，圆满完成飞行任务.为纪念中国航天事业所取得的成就，发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取1000名学生进行航天知识竞赛并记录得分（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值并估计这1000名学生成绩的平均数和分位数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取240人，若第三 四 五各组中被抽取的学生成绩的平均数依次为，方差依次为，求这240人中分数在区间的学生成绩的方差（精确到0.001）.
19.（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧面是矩形，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）试在平面内确定一点，使得平面，并求出线段的长度.
数学参考答案及评分标准
一 选择题：1—8小题，每小题5分，9—11每小题6分，第9题 10题选对一个给3分，第11题选对一个给2分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D A B B A D C BC AD ABD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
7.解析：对于A，点数可为；也可为，等等，故A错误；对于B，只能得出前三次点数为；后两次点数无法确定，故B错误；
对于C，点数为即符合条件，故错误；
对于D，因为平均数为3，点数与平均数差的平方为，其和为12，从而只可能是，1，9满足.即为，则出现点数6，故D正确.
8.解：如图所以则
所以
11.解：对于，其底面积为定值，当平面面时，四棱锥的的体积最大，此时平面，故，正确.对于B，取的中点，，连，则，则，三棱锥的外接球的球心为，
半径为1，球的表面积为，故选项正确.对于，取的中点，所以四边形DNME为平行四边形，EM面，故错误；对于，取中点中点，延长，过作于，则，则
，
，
故D项正确，选ABD.
14.，
.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）由题意设，则，
所以
当时，，
，此时.
（2）由题意有，
，此时，
而或.
16.【解析】（1）由知
，化简得，
而，所以
（2）由余弦定理有
即，而，
即，
.当且仅当取等号
此时，则，
在中，由正弦定理知.
17.【解析】（1）设与交于点，分别连结，由于正方形与矩形所在平面互相垂直，，所以面，
（2）分别取的中点，连结，则四边形为平行四边形，即为直线与平面所成角.
，
.
18.【解析】（1）成绩落在的频率为，.
这1000名学生平均成绩（分）
设分位数为，则，解得.
（2）由分层抽样可知，第三 四 五组抽样比为，
19.【解析】（1）由为等腰直角斜边的中点，得.
在三棱柱中，，所以，
所以，即.
因为侧面是矩形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）连接交于点，连接，
因为，所以.
由（1）知平面，又，所以平面，
因为平面，所以，所以
，
所以.又平面
平面，
所以平面.
所以二面角为直二面角，余弦值为0
（3）在平面内过点作，垂足为，
由（2）可知，平面
又，由，
得，从而解得.
