庐江县2023/2024学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，（为虚数单位），则等于（ ）
A．－1 B．1 C．－4 D．3
3．已知某地A，B，C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（ ）
A．100，10 B．100，20 C．200，10 D．200，20
4．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．如果，，，那么
B．如果，，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，，那么
5．在中，，，，点为边上一点，且，则（ ）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
6．我县为响应政府号召，大力发展民宿产业．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（ ）
A． B． C． D．
7．五位数，当五位数满足，且时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为，．当时，；对任意的，．下列结论：①；②对任意，有；③是上的减函数，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题：本题共3小题、每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选得0分．
9．下图为某地2014年至2013年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．这10年粮食年产是的极差为15
B．这10年粮食年产是的第65百分位数为33
C．这10年粮食年产量的中位数为29
D．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
10．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为4
11．已知边长为2的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使点C不在平面ABD内，为BD的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．在任何位置，都存在
B．若，当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为
C．若，当二面角为时，三棱锥的体积为
D．若，当二面角为时，三棱锥的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则______．
13．公司要求甲、乙、丙3人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少有2人在规定时间内完成任务的概率为______．
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为______．
四、解答题：本题共5大题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
已知向量与向量的夹角为，且，，．
（1）求的值；
（2）记向量与向量的夹角为，求．
16．（本小题15分）
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
17．（本小题15分）
2024年安徽省首次采用了“”新高考模式．该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（在政治、地理、化学、生物中选修2科）以赋分成绩记入．赋分成绩的具体算法是：先将我省某再选科目原始成绩按从高到低划分为A、B、C、D、E五个等级，各等级人数占一定的比例，依照转换公式（转换公式：，其中，分别表示某等级所对应原始分的下限和上限，，分别表示对应等级赋分区间的下限和上限，表示某等级内考生的原始分，表示相应等级内某考生的赋分成绩），将五个等级的原始分分别转换到相应的五个分数区间，并将所得分数小数点后“四舍五人”，得到保留为整数的转换分作为赋分成绩．具体等级比例和赋分区间如下表：
等级 A B C D E
比例
赋分区间
（1）我校某学生高考查分显示政治是81分，已知该学生所在等级原始分上限、下限分别为77分、63分（以上数据仅是示例），求该生政治科目今年高考的原始分；
（2）现从我省今年高考化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计我省今年高考化学原始成绩等级中的最低分（小数点后四舍五入，保留为整数）．
18．（本小题17分）
如图，已知四棱雉的底面是正方形，点是棱的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题17分）
对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
（3）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
庐江县2023/2024学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学试题参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D C B A C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分．
题号 9 10 11
答案 ABC BCD AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由，所以
（2）因为
，所以，
所以．
16．解：（1）由余弦定理得，
化简得，
所以在中由余弦定理可得，
又因为，所以．
（2）由（1）知，由，，，所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以，
故面积的最大值为．
17．解：（1）依题意： ， ，代入转换公式
即：，解得：
所以该生政治科目今年高考的原始分为73分．
（2）∵，∴．
设化学原始成绩等级中的最低分为x，即第85百分位数，
∵，
∴，得
综上，估计我省化学原始成绩等级中的最低分为87分．
18．（1）证明：设AC交BD于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又E为PA的中点，∴ME为的中位线，∴，
又∵平面，平面BDE，∴平面．
（2）证明：∵ABCD为正方形，∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
又，PA，平面PAC，∴平面．
∵平面BDE，∴平面平面．
（3）解：连接，
∵平面，∴PM是PB在平面PAC上的射影，
为直线PB与平面PAC所成的角，
∵，∴，
∴．
19．（1）证明：任取正常数T，存在，
∵，即不恒成立，
∴不是“T同比不减函数”．
（2）解：∵函数是“同比不减函数”，
∴恒成立，
代入恒成立，
，，
，，，
，，
∴，
∴k的取值范围为．
（3）解：当时，
当，，
当，，
当，
由题知为奇函数，关于原点对称，如图所示：
根据图象易得：要使对任意的x恒成立，
只需，对任意的恒成立，
∴即可，
∴．
