江西省宜春中学2023-2024学年度下学期高一期末试
卷数学学科
出题人：孙振亮 审题人：胡红
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数，则等于（ ）
A.0 B. C.1 D.
2.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（ ）
A.梦 B.就 C.成 D.想
3.如图，在平行四边形中，，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在中，，则（ ）
A.15 B.-15 C.-13 D.-11
6.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A.0 B. C. D.
7已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后，得到偶函数的图象，则正实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知均为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数为虚数单位），且，下列命题正确的是（ ）
A.不可能为纯虚数
B.若的共轭复数为，且，则是实数
C.若，则是实数
D.可以等于
10.在中，，若满足该条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ）
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
11.如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.存在点，使得平面
B.不存在点，使得
C.直线与平面所成角的正切值的最小值为
D.过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若单位向量满足，则__________.
13.将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了__________
14.已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，平面平面，则其外接球的表面积为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知平面向量，且.
（1）求和；
（2）若，求向量和向量的夹角的大小.
16.（15分）已知分别为三个内角的对边，.
（1）若，求；
（2）若的面积为，求.
17.（15分）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，是棱的中点.
（1）求异面直线和所成的角；
（2）证明：平面平面.
18.（17分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求的值.
（3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围.
19.（17分）如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记，.
（1）若，求的面积；
（2）证明：；
（3）若，求的面积的取值范围.
江西省宜春中学2023-2024学年度下学期
高一期末试卷数学学科答案
1-8CCABDBCD 9.BC 10.BC 11.ACD
12. 13. 14.
15.【详解】（1）因为，所以，解得
因为，所以，解得
故；
（2），
设向量和向量的夹角为，
则
因为，所以，
即向量和向量的夹角的大小为.
16.【详解】（1）因为，所以
由正弦定理，可得
（2）因为的面积为，所以，
因为，所以，解得
由余弦定理可得，即
17.【详解】（1）由题设知：，则和所成角即为和所成角，又侧棱垂直底面，
，又是棱的中点，
是等腰直角三角形.即.
所以，异面直线和所成的角为.
（2）由题设知：，
面.又面，
，又，
，即，又，
面，而面，
面面.
18.【详解】（1）解：由
可得函数的最小正周期，
（2）因为，
所以.
因为，所以，
所以，
所以
.
（3）解：由（1）知，函数，
可得asinasin，
因为对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得所以在上单调递减，所以，所以，所以的取值范围为
19.（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；
（2）在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得证，
（3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
结合
，
又因为，所以，
所以，
即的面积的取值范围为.
