周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试
数学（人教版）
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 班级 考场号 座位号 考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数（ ）
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.从这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ）
A.若，则可能平行 异面或者相交
B.若，则与可能平行 相交或者
C.若，则
D.若，则
5.已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
7.经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40，该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2；乙群体总人数为20，该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1，若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为（ ）
A. B. C. D.3
8.在中，角所对的边竹别是，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示为四边形的平面图，其中，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.四边形为等腰梯形
D.四边形的周长为
10.设是一个随机试验中的三个事件，且与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若事件相互独立，则
C.
D.
11.在三棱锥中，底面，以点为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为1
B.的最小值为
C.当取得最小值时，球与侧面的交线长为
D.当取得最小值时，球与侧面的交线长为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为__________.
13.在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________.
14.已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________.
四 解答题：共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
为了全面提高学生素质，促进学生德 智 体 美 劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长；
（3）若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.
16.（15分）
已知复数为虚数单位，.
（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围；
（2）若是方程的根，求.
17.（15分）
2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明 小王 小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明 小红两名同学都解答错误的概率是，小王 小红两名同学都正确解出的概率是.设小明 小王 小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且.
（1）求三名同学都正确解出这道题的概率；
（2）求小王正确解出这道题的概率.
18.（17分）
如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面.
（1）求直线与平面所成角的大小.
（2）若直线分别与直线所成的角相等，且.
①求二面角的大小；
②求三棱锥的体积.
19.（17分）
三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.已知整边三角形的内角所对的边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，当取最小值时，求整边三角形的面积.
数学（人教版）参考答案
1.B 【解析】因为，所以，故.故选B.
2.A 【解析】因为，所以，解得.故选A.
3.B 【解析】从这4个数中一次性地任取两个数的所有可能的结果有，，共6种，其中满足两个数的和大于87的结果有，共2种，所以任取两个数的和大于87的概率.故选B.
4.C 【解析】若，则可能平行 异面或者相交，故A正确；
若，则与可能平行 相交或者，故B正确；
若，则与可能平行，也可能，故C错误；
若，由线面垂直的性质定理可知，故D正确.故选C.
5.D 【解析】因为，所以，又因为，所以，所以在上的投影向量为.故选D.
6.C 【解析】设正方体的棱长为，易知三棱锥为正四面体，则其棱长为，其高为，故，解得，故正方体的棱长为6.故选C.
7.B 【解析】丙样本每天使用电脑时间的平均
数为（小时），
故丙样本每天使用电脑时间的方差为
.
故选B.
8.C 【解析】，当且仅当时取等号，
，即3，即，
.故选C.
9.BC 【解析】由题意可画出其直观图如下，
其中
，故A错误，B正确；
过点分别作，垂足分别为点，
故，
，故，
则四边形为等腰梯形，故C正确；
故四边形的周长为，即D错误.故选BC.
10.BD 【解析】对于选项，因为，，所以，所以A选项错误；
对于选项，因为事件相互独立，所以，所以选项正确；
对于C选项，因为事件与互斥，故，所以选项错误；
对于D选项，，所以选项正确.故选BD.
11.AC 【解析】因为底面，故，设，则，由，且，得.在中，由余弦定理得.设的外接圆半径为，在中，由正弦定理得，则，当时，取得最小值1，
故A正确，B错误.此时，又，所以.又因为，所以平面，过点作交于点，则，所以侧面.而，设球的半径为，则，所以.由，设，则点在侧面上的轨迹长即为球与侧面的交线长.取研究，
当在上时，，所以；当在上时，在中，由正弦定理得，即，解得.因为，所以，故，.因为，所以，所以点在侧面上的运动轨迹是半径为1，圆心角为的圆弧，弧长为，所以当取得最小值时，球与侧面的交线长为，故C正确，D错误.故选AC.
12.1 【解析】设，为虚数单位，则，由题意可得，解得，故的实部为1.
13.15.5 【解析】因为，所以这组数据的上四分位数是.
14. 【解析】设，其中，则
，所以当时，取得最大值.
15.解：（1）由题意知，，解得.
（2）由题意知，该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为23.4（分钟）.
（3）由题意知，该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为（人）.
16.解：（1）因为在复平面内对应的点位于第一象限，
所以解得.
（2）由题意可得，
故，
即，
所以
解得，
故.
17.解：（1）由题意得，
，
所以三名同学都正确解出这道题的概率为.
（2）因为，
所以.
又，
所以，
即.
又，
所以.
所以小王正确解出这道题的概率为.
18.解：（1）因为为三棱锥的高，
故底面.
又平面，故.
因为点为的中点，
故，
则为等边三角形，故.
又底面，则即为直线
与平面所成的角，
故与平面所成角的大小为.
（2）①如图，延长交于点，连接.
直线为过直线的平面与平面的交线，
又平面，故.
又为的中点，故为的中点.
则，
又平面平面，故，
故.
因为直线与直线所成的角相等，
所以.
在与中，
故，故.
在与中，
故，故，
即为的平分线，
又，则，且为的中点，
又，则，
则即为二面角的平面角，
则，
则二面角的大小为.
②由，可知，
则，
故.
19.解：（1）证明：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
由正弦定理，
得.
（2）因为，由正弦定理
及余弦定理可得，
，
解得（舍）或，
故，
则，
所以.
因为，所以的最小值为4，
此时，
所以整边三角形的面积为
.
