6.3平面向量基本定理及坐标表示 练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．在中，，，点满足，且，则( )
A． B． C． D．
2．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知且，则为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为( )
A． B． C． D．
5．已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，且，则( )
A． B． C． D．
7．已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（ ）
A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”
B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”
C．“⊥”的充分条件是“x＝0”
D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”
8．已知向量，，则( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．下面给出的关系式中，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
10．对于任意的两个平面向量、，下列关系式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．给出下列四个命题，其中正确的是( )
A．在中，，，若角为钝角，则实数的取值范围为
B．在中，若，则为等腰直角三角形
C．在中，若，，，则在方向上的投影向量的模为
D．在中，若，则点为的重心
三、填空题
12．已知，为共线向量，且，，则 ．
13．已知平面向量是不共线的单位向量，记的夹角为，若平面向量满足，且对于任意的正实数恒成立，则的最大值为 .
14．已知向量，则 ．
四、解答题
15．已知，．
（1）若，且、、三点共线，求的值．
（2）当实数为何值时，与垂直？
16．已知向量 与 的夹角 ，且 ， ．
（1）求 ， ；
（2）求 与 的夹角的余弦值．
17．已知向量，满足，，，且在上的投影向量为．
（1）求，及的值；
（2）若，求的值．
18．已知向量，，．
（1）若，，求λ+μ的值；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
19．如图，E，F分别是矩形ABCD的边CD和BC的中点．
（1）设，试用表示；
（2）若，N是线段EF上的一动点，，求的最大值．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以在上的投影向量的坐标为.
故答案为：D.
【分析】根据向量的坐标运算可得，结合投影向量的定义运算求解.
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
即，解得，
则，
又因为，所以.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，所以，两边平方可得，
即，即，则，
同理，，，即；
，，，即；
则，
，
，
故.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件分别求出，，，再求，，，利用向量的夹角公式求解即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2）
当时，，则，
解得或，
所以A错误，C正确；
同理，当，即，即，
所以，BD错误.
故答案为：C.
【分析】利用平行垂直得坐标运算结合充分条件，必要条件的判断即可得到结果.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：
对于A，因为 ， 所以 不成立， 故 错误；
对于 ，故 错误；
对于 ，
即 ， 故 正确， 错误.
故答案为： .
【分析】利用向量的平行和垂直的坐标公式进行运算即可求解.
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：设与的夹角为，
A、
，当且仅当，即与反向时等号成立，故A正确；
B、，当且仅当，即与同向时等号成立，故B正确；
C、，因为，所以不确定，故C错误；
D、由B可知：，则当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据平面向量数量积的运算性质逐项分析判断即可.
11．【答案】C,D
【解析】【解答】解：选项 ， 若角 为钝角， 则有 且 与 不共线，
故 且 ， 解得 且 ，故 错误；
选项 ， 由 ， 可得 ，即 ， 两边平方可得 ，
即 ，即 为直角三角形， 故 错误；
选项 ， 由余弦定理可得
所以 在 方向上的投影向量的模为 ， 故 正确；
选项 ， 设 B C 的中点为 ， 若 ，可得 ， 所以点 为 的重心， 故 正确.
故答案为： CD.
【分析】由向量数量积运算及共线向量的坐标关系，求得t的范围可判定A；由向量的线性运算及数量积运算可判定B；由投影向量的概念可判定C；由重心定义可判定D.
12．【答案】6
13．【答案】
14．【答案】-2
15．【答案】（1）解：，，，，
则，，且、、三点共线，
则可得，
即，解得
（2）解：，，，，
则，，
因为与垂直，
则可得，解得．
【解析】【分析】（1）由、、C三点共线，可得与共线，利用向量共线的坐标关系列出方程即可；
（2）先求出与的坐标，再利用平面向量垂直的坐标运算公式求解即可.
16．【答案】（1）解：由已知，得 ，
；
（2）解：设 与 的夹角为 ，
则 ，
因此， 与 的夹角的余弦值为 .
【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出 的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出 的值；
（2）利用平面向量夹角的余弦公式可求得。
17．【答案】（1）解：因为，，且在上的投影向量为，
所以，所以，
所以，
因为，所以；
（2）解：因为，
所以，即，
得，解得．
18．【答案】（1）解：因为，，
所以．
因为，所以，
解得，
所以．
（2）解：因为，所以，
即2×4+3×1﹣（2×1+3x）＝0，
解得x＝3，所以，
故，．
19．【答案】（1）因为E，F分别是矩形ABCD的边CD和BC的中点．
所以，
所以，
又，
所以，
又，所以，
（2）因为，
又
所以，
，
．
又，所以．
所以
．
又，所以时，取最大值，最大值为．
