2023-2024学年江西省吉安市高二下学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
3.函数满足，则的极大值点为( )
A. B. C. D.
4.已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为( )
A. B. C. D.
5.口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球和个黄球，从中任取一个球，事件表示“取到的是红球”，事件表示“取到的是白球”，事件表示“取到的是黄球”，则( )
A. B. 事件，，可能同时发生
C. 与互斥 D. 事件与事件不相互独立
6.设等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
7.为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有( )
附：，．
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
8.函数与函数公切线的斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X~B(4,p),E(X)=2,则（ ）
A. p= B. P(< X<)= C. D(X)=2 D. E(4X+3)=11
10.下列说法正确的是( )
A. 若样本数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为
B. 值越接近，随机变量之间的线性相关程度越强
C. 若，，则事件，相互独立
D. 在一组样本数据，，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
11.已知首项为的正项数列满足，则下列说法正确的是( )
A. 为递增数列 B.
C. D. 数列为递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为等比数列的前项和，是首项为的等差数列，则的公差为 ．
13.如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动次后，最终质点位于数轴上的位置的概率为 ．
14.当时，函数的值域为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.将个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入个编号为，，，且最多容纳个排球的排球筐内，记编号为的排球筐内放入的排球个数为．
求该排球筐内有球的概率
求的分布列．
16.已知为数列的前项和，且．
求数列的通项公式
设为数列的前项和，求证：．
17.已知函数为上的增函数．
当时，求的取值范围
当时，求的值．
18.年月日的“”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两经检查，发现有家商贩出现缺斤少两问题，执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改以下是执法人员公布的家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为单位：，，其他数据如下：，．
利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程精确到小数点后位，下同
经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程．
参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且，．
19.设函数．
讨论的单调性
已知直线与曲线交于三点，，，且．
(ⅰ) 若，，成等差数列，求(ⅱ)证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.AD
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设事件“排球筐内有球”，
则易得且．
由题意，的值可以为，，，，且
，
的分布列为
16.解：当时，，可得，
当时，由，可得，
相减可得，即有，可得，
则是首项、公比都为的等比数列，
故
．
上面两式相减可得
化简可得．
易得是单调递增数列，且，，，
故，得证．
17.当时，易得恒成立，
当且仅当，即时，等号成立．
当时，，
则，又为上的增函数，
设，
则，
则使得又，，
则必有，否则根据函数的单调性可推出不恒成立，与题意矛盾．
由，得当时，，为常函数，舍去
当时，，为上的增函数，符合题意．
综上所述，．
18.解：由题意，，
，
故
，
，
因此回归方程为；
不妨设被删除的数据点为，由题意，
设删除该数据点后，商贩称重重量和执法人员称重重量的平均值分别为、，
因此，
，
故，
对于回归方程，
，
因此斜率相等得证．
故，
因此回归方程为．
19.解：因为，
所以由得；由得，
因此函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
(ⅰ) 解：由得，因此直线与曲线的一个交点为原点．
设，
则直线与曲线的一个交点为原点，另外两个交点是直线和函数的图象的交点．
因为，所以由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，因此函数在处取得最小值．
因为当时，；当时，，
所以作直线和函数的图象如下：
因为直线与曲线交于、、三点，且，
所以由直线和函数的图象知、、．
因为，，成等差数列，所以，因此由得
所以由和解得，
因此．
(ⅱ)证明：由知：、，因此．
因为函数在上单调递减，所以要证，只要证，
即要证
令，
因此
，
所以函数在上单调递增，因此，
所以，因此．
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