请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
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大通县朔山中学2023~2024学年度第二学期第三次阶段检测
15.(本小题满分13分)
16.(本小题满分15分)
高一数学答题卡
条形码粘贴处
1答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考
准考证号
证号填写清楚
2选择题使用2B铅笔填涂：如需改动，用橡皮擦干
意净后，再选择其他答案标号；非选择题使用熙色
事碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚，按照题号顺序
[0][0][0][0][0][0][0][0][0
在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写
项
[1]
[1][1][1][1][1][1][1
[1
的答案无效：在草稿纸，试卷上答题无效
[2]
[2][2][2][2][2][21[2]
[2]
3保持卡面清洁，不折叠，不破损。
[3]
[3
[3][3]
[4]
[4
[4
正确填涂：
[5]
[5]
[5][5][5
[5]
[5]
错误填涂：中这园p
6
范
缺考
[8][8J[8][8][8][8][8][8][8]
标记
[99j[9][9][9][9][9]9][9]
选择题（请用2B铅笔填涂）》
1 [A]CB]CC]CD]
6 CA]CB]CC]CD]
11 CA]CB]CC]CD]
2 CA]CB3 Cc]
CD]
7[A][B][C][D]
3 [A]CB]CC]CD]
8[A][B][C][D]
4[A][B][C]CD]
9[A][B][C][D]
5 [A]CB]CC]CD]
10[A][B][C][D]
非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）
12.(1)】
(2)
13.
14
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高一第三次阶段检测·数学第1页（共2页）241904Z
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17.(本小题满分15分)
18.(本小题满分17分)
19.(本小题满分17分)
y
频
织距
0.00
0.007
,006
0.005
-4--
0.004
0.003
0.002
1
0.001
50100150200250300350纤维长度m
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高一第三次阶段检测·数学第2页（共2页）241904Z大通县朔山中学2023~2024学年度第二学期第三次阶段检测
高 一 数 学
考生注意 :
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡 上对应题目的
答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答,超．出．
答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．。
4.本卷命题范围:人教A版必修第二册第九章~第十章第1节。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶
2．一个公司共有 240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为 20的样本．已知某部
门有 60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
3．已知直线m，直线n和平面 ，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若m / / ， n ，则m // n B．若m / / ， n / / ，则m // n
C．若m ，n / / ，则m n D．若m n， n / / ，则m
4．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将 6灌这种饮料装一箱，每箱中都放置 2灌能中奖的
饮料.若从一箱中随机抽出 2灌，能中奖的概率为（ ）
1 2 8 3
A． B． C． D．
15 5 15 5
5．样本数据 x1, x2 , , xn的平均数为 4，方差为 1，则样本数据 2x1 1,2x2 1, , 2x n 1 的平均数，方差分别为（ ）
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1
6 2 2．如图，一组数据 x1, x2 , x3 , , x9 , x10 ，的平均数为 5，方差为 s1 ，去除 x9， x10这两个数据后，平均数为 x，方差为 s2 ，
则（ ）
A． x 5， s21 s
2
2 B． x 5， s
2
1 s
2
2
C． x 5， s21 s
2
2 D． x 5， s
2
1 s
2
2
7．以下是高三一班，二班各 10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，m，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n，37.1（单位：℃）
试卷第 1页，共 4页
若这两组数据的第 25百分位数、第 90百分位数都分别对应相等，则 n m为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
8．为了迎接 2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生 35人，
女生 25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为 s2 21、s2 ，该班成绩的方差为 s2，则下列结论中一
定正确的是（ ）
7s2 5s2 2 2 2 2A s2 1 2 B s2 s1 s2 C s2 7s1 5s2 D s2 s
2
1 s
2
． ． ． ． 2
12 2 12 2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列抽样方法不是简单随机抽样的是（ ）
A．在机器传送带上抽取 30件产品作为样本
B．从平面直角坐标系中抽取 5个点作为样本
C．箱子里共有 100个零件，今从中选取 10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出 1个零件进行质量检
验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取 10个零件为止
D．某可乐公司从仓库中的 1000箱可乐中一次性抽取 20箱进行质量检查
10．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
在这次射击中，下列说法正确的是（ ）
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定 D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
11．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有 2个红球和 2个黑球的口袋内任取 2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
1 5
C 1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 2 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为3 6
7
D．在5件产品中，有3件一等品和 2件二等品，从中任取 2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
10
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12．从某小区抽取 100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50 350kW h之间，进行适当分组后（每
组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中 x的值为 ；
(2)在被调查的用户中，用电量落在区间 100,250 内的户
数为 .
试卷第 2页，共 4页
13．一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去 30天苹果的日销售量（单位： kg），结果如下：
83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能
80%地满足顾客的需求（在 100天中，大约有 80天可以满足顾客的需求），则每天应该进 千克的苹果．
14．二战期间，盟军统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总
数.假设德军某月生产的坦克总数是 N，缴获的该月生产的 n辆坦克序列号从小到大为 x1, x2 , , xn，即最大序列号为
xn，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为坦克的序列号是连续编号的，所以缴获坦克的序列号
x1, x2 , , xn，相当于从 0,N 中随机抽取的 n个整数，这n个数将区间 0,N 分成 n 1 个小区间，其中前 n个区间
x
已知，最右边的区间未知（由于 N未知）.由于这 n个数是随机抽取的，所以可以用前 n个区间的平均长度 n 来估
n
计所有 n 1 N个区间的平均长度 ，进而得到 N的估计值.例如，某月盟军缴获坦克的序列号是3,8,12,18,20,24，
n 1
则统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为 辆.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分 13分)
高二年级有男生 490人，女生 510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的
平均身高分别为 170.2cm和 160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为 100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况
下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为 30和 70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的
平均身高更合理？
16．(本小题满分 15分)
抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用 x表示红色骰子的点数，用 y表示绿色骰
子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设 A=“两个点数之和等于 8”，B=“至少有一颗骰子的点数为 5”，C=“红
色骰子上的点数大于 4”
（1）求事件 A，B，C的概率； （2）求 A B, A B的概率.
17．(本小题满分 15分)
如图所示，已知多面体 PABCDE的底面 ABCD是边长为 6的菱形， PA 底面 ABCD,ED∥PA且 PA 2ED 6．
(1)证明：CE 平面 ABP；
(2)若 ABC 60 ，求异面直线 PE与 AB所成角的余弦值．
试卷第 3页，共 4页
18．(本小题满分 17分)
棉花是我国纺织工业重要的原料.新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展 确保棉粮安全以及促进新疆农
民增收 实现乡村振兴战略都具有重要意义.动态 准确掌握棉花质量现状，可以促进棉花产业健康和稳定的发展.棉
花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了 100根棉花的纤维长度（单位：mm），
得到样本的频数分布表如下：
纤维长度 频数 频率
[0，50） 4 0.04
[50，100） 8 0.08
[100，150） 10 0.10
[150，200） 10 0.10
[200，250） 16 0.16
[250，300） 40 0.40
[300，350] 12 0.12
（1）在图中作出样本的频率分布直方图；
（2）根据（1）作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数 中位数与平均数，并对这批棉花的众数 中位数和平
均数进行估计.
（3）从抽取的 100根棉花的纤维长度在[50，100）及[300，350]的棉花中用分层抽样的方法抽取 5根，再从抽取的
5根中随机抽取 2根，求 2根中恰有 1根的纤维长度在[50，100）的概率．
19．(本小题满分 17分)
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居
民生活用水定额管理制度，即确定一个合理的居民月用水量标准 x（吨），用水量不超过 x的部分按平价收费，超出
x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了某年 100位居民的月均用水量（单位:
吨），将数据按照[0，0.5]，（0.5，1]，…，（4，4.5]分成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a的值;
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准
x（吨），估计 x的值;
(3)已知平价收费标准为 4元/吨，议价收费标准为 8元/吨.
当 x 3时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数据
用该组区间的中点值代替）
试卷第 4页，共 4页大通县朔山中学2023~2024学年度第二学期第三次阶段检测·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，
“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；
对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；
对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；
对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.
2．B 设一部门抽取的员工人数为x,则.故选B.
3．C 对于A，若，，则或与异面，故A错误；
对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误；
对于C，若，过作平面，使得，则，因为，，则，又，则，故C正确； 对于D，若，，则或或与相交，故D错误.
4．D 两灌都不中奖的概率,故中奖的概率为.
5．A 样本数据的平均数为；样本数据
的方差为.
6．B 由题意可得：，则，故，
∵是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.
D 由，可得第25百分位数分别为和，则；由，可得第
90百分位数分别为和，则，解得；故.
8．A 设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为，
则，
ABD A不是，因为传送带上的产品数量不确定；B不是，因为个体的数量无限；C是，因为满
足简单随机抽样的定义；D不是，因为它不是逐个抽取的．
10．AC 由题意可知，对于选项A，甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，所以甲成
绩的极差比乙成绩的极差大，故选项A正确；对于选项B，甲成绩的众数为，乙成绩的众数为，所以选项B错误；对于选项C，甲成绩的平均数为，方差为，乙成绩的平均数为，方差为，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，故选项C正确；对于选项D，甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为，故选项D错误.
ACD 对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必
有一个发生的互斥事件，A正确；对于B选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，B错误；对于C选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，甲不输的概率为，C正确；对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为，D正确．
12． 0.0044 70
（1）由，得.
（2）户数为.
13．99.5 过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117，故第80百分位数：
14．28 由于用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，而缴获坦克的编号
是，即，故，所以，即统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为28辆.
15.（1）抽取男生人数为，抽取女生人数为.
高二年级全体学生的平均身高估计为（cm）.
（2）仍按（1）方式进行估计，即（cm）.
16．该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点
（1），有5个样本点，所以；
，有11个样本点，所以.
，有12个样本点，所以.
（2），有2个样本点，所以；
所以.
17.（1）证明：如图，底面是菱形，．
平面平面，
平面．
平面平面，
平面．
又平面平面，
平面，
则平面．
（2）取的中点，连接，则，
则四边形为平行四边形，则，
又即为异面直线与所成角或其补角．
连接，
为等边三角形，则．
又．
又，
即异面直线与所成角的余弦值为．
18.（1）样本的频率分布直方图如图所示.
（2）由样本的频率分布直方图，得众数为（）；
前五组的频率之和为0.48，则中位数处于第六组，设中位数为x，则，解得x=252.5，即中位数为252.5；设平均数为，
则=25×0.04+75×0.08+125×0.1+175×0.1+225×0.16+275×0.4+325×0.12=222（），故平均数为222. 故这批棉花的众数 中位数和平均数的估计值分别为275 252.5和222.
在[50，100）分组中抽取的根数为2人，记为，在[300，350]分组中抽取的根数为3人，记为
，所以这5根中随机抽取2根的情况有共10种，其中恰有1根的纤维长度在[50，100）的情况有6种，所以2根中恰有1根的纤维长度在[50，100）的概率为.
19．（1）由已知，解得；
（2）因为前6组的频率之和是，
前5组的频率之和为，所以，
所以，解得.
（3）设该市居民月均用水量为吨，相应的水费为元，
则y=， 即y=，
由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，
得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
分组
频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02
根据题意，估计该市居民的月平均水费为
（元）.
数学参考答案 第1页，共3页
