岳阳县第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合A＝{x|3x≥27}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|3＜x≤4} D．{x|3≤x＜4}
2．复数Z＝i+2i2+3i3+…+2024i2024的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C．﹣1011 D．﹣1012
3．2022年北京冬奥会期间，4名大学生志愿者被派往延庆赛区承办的雪车、雪橇及高山滑雪三个项目参加志愿服务，每名志愿者都必须分配一个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．18种
4．样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（ ）
A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5
5．已知向量，是单位向量，若|2﹣|＝，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知α，β均为锐角，sinα＝2sinβcos（α+β），则tanα取得最大值时，tan（α+β）的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
7．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2且斜率为的直线l与C右支交于点A，与C左支交于点B，点D满足，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（ ）
A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E、F分别为线段B1C，D1C1的中点，点P满足，则（ ）
A．当λ+μ＝1时，三棱锥D﹣PEF的体积为定值
B．当，四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积是
C．△PEF周长的最小值为
D．若，则点P的轨迹长为
（多选）10．下列命题正确的有（ ）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若xex＝1，则x+lnx＝0
C．若a＞b，则
D．2x＝6，y＝log36，则xy＞4
（多选）11．下列等式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）12．如图，点M是棱长为1的正方体ABD﹣A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．二面角M﹣AD﹣B1的大小为45°
B．存在点M∈AD1，使得异面直线CM与A1B1所成的角为30°
C．点M存在无数个位置满足CM⊥AD1
D．点M存在无数个位置满足CM∥面A1BC1
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．函数的最大值为 ．
14．展开式中的常数项为 ．
15．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线＝1，y＝x，y＝±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则V＝ ．
16．已知f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（0）＝1，对任意的x总有2f′（x）﹣f（x）＞2，则不等式f（x）+2≥3的解集为 ．
四．解答题（共5小题，共70分）
17．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，且（sinA+cosA）（sinB+cosB）＝2cosAcosB．（15分）
（1）求∠C的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
18．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．（15分）
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求直线FB与平面ABCD所成角的正切值．
19．为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试．每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机．对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为p（0＜p＜1），且击中一次目标无人机坠毁的概率为0.6，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为q（0＜q＜1），且击中一次目标无人机坠毁的概率为0.4，击中两次目标无人机坠毁的概率为0.8，击中三次目标无人机必坠毁．（15分）
（1）若p＝q＝0.5，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试．
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率；
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为X，求X的分布列与数学期望．
（2）若0＜p≤0.4，且p+q＝1，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由．
20．已知椭圆，过点（﹣1，0）的直线l交椭圆C于点A，B．（10分）
（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，求|AB|；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使为定值？若存在，求点P的坐标及的值；若不存在，说明理由．
21．如图，在多面体ABCDEFGH中，平面ABCD与平面EFGH均为矩形且相互平行，AB＝1，BC＝3，EF＝2，FG＝4，AE＝DH，BF＝CG，AH⊥EF．设∠DHE＝θ．（15分）
（1）求证：平面AEHD⊥平面EFGH；
（2）若多面体ABCDEFGH的体积为：
（ⅰ）求θ；
（ⅱ）求平面AEF与平面AEG夹角的余弦值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：DDCBB 6-8:ABC
二．多选题（共4小题）
9:ABD．10：BD．11：ABD．12：ACD．
三．填空题（共4小题）
13：．
14：．
15：32π．
16：[0，+∞）．
四．解答题（共5小题）
17．解：（1）由（sinA+cosA）（sinB+cosB）＝2cosAcosB．
得sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB＝2cosAcosB．
整理得sin（A+B）＝cos（A+B），
又因为A+B＝π﹣C，所以sinC＝﹣cosC，所以tanC＝﹣1，
因为0＜C＜π，所以C＝；
（2）由（1）知C＝，，得到A＝，又由sinB＝sin（﹣）＝（﹣1），
由正弦定理＝，a＝1，解得c＝＝，
所以△ABC的面积S＝acsinB＝×1××（﹣1）＝．
18．解：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，
∴以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2），
设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h），
∵AE⊥平面ABCD，CF∥AE，∴CF⊥平面ABCD，
∴CF⊥AB，∵AB⊥BC，BC∩CF＝C，∴AB⊥平面BCF，
∴＝（1，0，0）是平面BCF的法向量，
∵＝（0，﹣1，2），∴＝0，又DE 平面BCF，
∴DE∥平面BCF；
（Ⅱ）设平面BDF的法向量＝（x，y，z），
＝（﹣1，1，0），＝（0，2，h），
则，取y＝1，得＝（1，1，﹣），
同理得平面BDE的一个法向量为＝（2，2，1），
∵二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，
∴|cos＜＞|＝＝＝，
解得h＝，∴CF＝，
∵CF⊥平面ABCD，∴∠FBC就是线FB与平面ABCD所成角，
∴直线FB与平面ABCD所成角的正切值为＝．
19．解：（1）因为每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标无人机与否相互独立，
在一次测试中，用Y、Z分别表示甲、乙两种武器命中目标无人机的次数，则Y B（3，p），Z B（3，q），
①记事件A为“在一次测试中，使用甲种武器使目标无人机坠毁”，
P（A）＝0.6P（Y＝1）+P（Y＝2）+P（Y＝3）
＝；
②X所有可能的取值为0，1，2，
记事件B为“在一次测试中，使用乙种武器使目标无人机坠毁”，
P（B）＝0.4P（Z＝1）+0.8P（Z＝2）+P（Z＝3）
＝，
，
，
，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
故；
（2）记事件C为“使用乙种武器使得目标无人机坠毁”，
事件D为“使用甲种武器使得目标无人机坠毁”，
则P（C）＝0.4P（Z＝1）+0.8P（Z＝2）+P（Z＝3）
＝
＝1.2q（1﹣q）2+2.4q2（1﹣q）+q3＝1.2q（1﹣2q+q2）+2.4q2﹣2.4q3+q3
＝﹣0.2q3+1.2q，
＝1.8p（1﹣p）2+3p2（1﹣p）+p3＝1.8p（1﹣2p+p2）+3p2﹣3p3+p3
＝﹣0.2p3﹣0.6p2+1.8p，
因为p+q＝1，所以q＝1﹣p，
则P（D）﹣P（C）＝﹣0.2p3﹣0.6p2+1.8p+0.2（1﹣p）3﹣1.2（1﹣p）
＝﹣0.2p3﹣0.6p2+1.8p+0.2（1﹣3p+3p2﹣p3）﹣1.2+1.2p
＝﹣0.4p3+2.4p﹣1，
令f（p）＝﹣0.4p3+2.4p﹣1（0＜p≤0.4），则f′（p）＝﹣1.2p2+2.4，
令f′（p）＞0，即﹣1.2p2+2.4＞0，则p2＜2，得，
又0＜p≤0.4，所以f′（p）＞0恒成立，
所以f（p）在（0，0.4]上单调递增，
又f（0.4）＝﹣0.44+2.4×0.4﹣1＝﹣0.0256+0.96﹣1＜0，则f（p）≤f（0.4）＜0，
故P（D）﹣P（C）＜0，即P（D）＜P（C），
所以使用乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大．
20解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，其方程为x＝﹣1．
由得或
所以．
（Ⅱ）假设存在P（m，0），使为定值．
①当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为：y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣3＝0．
则．
所以
＝（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2
＝
＝
＝，
＝
＝．
若为常数，只需，
解得，此时．
所以存在点，使为定值．
②当直线l与x轴垂直时，
不妨设，
当点P坐标为时，．
综上，存在点，使为定值．……………………………（15分）
21．（1）证明：因为四边形EFGH是矩形，所以EF⊥EH，
又因为EF⊥AH，EH∩AH＝H，EH，AH 平面AEHD，
所以EF⊥平面AEHD，又EF 平面EFGH，
所以平面AEHD⊥平面EFGH；
（2）（i） 因为AE＝DH，所以四边形ADHE是等腰梯形，如图，
过点D作DM⊥EH，垂足为M，过点A作AN⊥EH，垂足为N，
则，同理，作CJ⊥FG，BK⊥FG，则，
因为平面AEHD⊥平面EFGH，平面AEHD∩平面EFGH＝EH，
所以DM⊥平面EFGH，AN⊥平面EFGH，记DM＝AN＝h，
连接MJ，NK，作CP⊥MJ，则CP＝DM＝h，
由对称性可知VBFK﹣AEN＝VCJG﹣DMH，所以VABCDEFGH＝VBCJK﹣ADMN+2VCJG﹣DMH，
，
，
所以，所以，
在Rt△DHM中，，，
所以；
（ii）由（ⅰ）以N为原点，以NK，NH，NA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，F（2，﹣2，0），，
则，，，
设平面AEF的法向量，
则，即，令y1＝1，则z1＝﹣1，x1＝0，所以＝（0，1，﹣1），
设平面AEG的法向量，
则，即，令a＝2，则b＝﹣1，c＝1，所以，
所以，
设平面AEF与平面AEG夹角为α，则，
所以平面AEF与平面AEG夹角的余弦值为．
