浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考
高二数学试题卷
（时间80分钟 总分100分）
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．从第4题所给的数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．16 B．72 C．74 D．90
9．在中，已知角所对的边分别是，已知，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知函数，则其图象一定不过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．已知为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）
13．民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间内的频率为0.45
B．若规定年收人在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收人不少于400万元的有80家
D．估计样本的中位数为480万元
14．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
15．已知平面向量的夹角为，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称图形
B．若定义在上的函数对任意的都有，则函数图象的对称中心为
C．若是偶函数，则的图象关于直线成轴对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
17．已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为________；体积为________．
18．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________
19．设是一个随机试验中的两个事件，且，则________．
20．若函数的值域为，则的最小值为________．
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积．
22．如图，在三棱台中，平面为的中点．
（1）证明：．
（2）过的平面把三棱台分成两部分，体积分别是和，求的值．
（3）求平面和平面所成锐二面角的正切值．
23．已知函数．
（1）若，求的取值范围．
（2）记已知函数有个不同的零点．
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围．
浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考
高二数学参考答案
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A D B D B A C A B D C
1．解：要使函数有意义，则，得，所以函数的定义域为．故选C．
2．解：因为，所以．故选A．
3．解：由平行四边形法则可知．故选D．
4．解：因为，所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选B．
5．解：样本空间的样本点总数为8，事件（这个数平方的个位数是6或9）的样本点为4，6，3，7，7，共5个，所以概率．故选D．
6．解：当时，与可能相交也可能平行，故不能推出；反之，可以推出．故“”是“”的必要不充分条件．故选B．
7．解：不等式可化为，等价于解得，所以不等式的解集为．故选A．
8．解：由题意知，只要解不等式，化简得．因为，所以，所以．故选C．
9．解：由三角形内角和定理得，由正弦定理得，解得．故选A．
10．解：因为，取，得，所以在第一象限有图象，取，得，所以在第四象限有图象，取，得，所以在第三象限有图象．由排除法知图象不过第二象限．故选B．
11．解：因为是锐角，所以，
所以，化简得，平方得，
所以．故选D．
12．解：由题意可知，四面体为正四面体，设直线与平面所成的角为，易知，由最小角定理得，故A，B错误．再设平面与平面所成的角为，易知，由最大角定理得，代入选项得C可能正确．故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）
13 14 15 16
ABD BC BCD ACD
13．解：由，得，
所以数据落在区间内的频率为，A正确；
数据落在区间内的频率为，B正确；
，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是，所以符合条件的民营企业有家，C错误；
数据落在区间内的频率为0.3，数据落在区间内的频率为0.55，估计中位数为，D正确．故选ABD．
14．解：对于A，若，则，故A错误；
对于B，设，则，故B正确；
对于C，设，则，，故C正确；
对于D，若，则，故D错误．故选BC．
15．解：由题意得．
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，方法同B，故C正确；
对于D，易得，则在上的投影向量为，故D正确．故选BCD．
16．解：对于A，因为为奇函数，所以的图象关于点成中心对称图形，故A正确；
对于B，设，若是奇函数，则，所以，因为，所以1为奇函数，所以图象的对称中心为，故B错误；
对于C，设，因为是偶函数，所以，则，所以的图象关于直线成轴对称，故C正确；
对于D，显然的图象关于点成中心对称图形，再考虑的对称性，
可化为为奇函数，
则即即，
令，则，即，解得或（舍去），
所以，则，因为为奇函数，所以图象的对称中心为．
与有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点中心对称，
，
故D正确．故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
17． 18． 19． 20．3
17．解：由题意得圆锥的高，所以．
18．解：由题意得的中点是外接球的球心，所以．
19．解：由概率的性质得，所以，所以．
20．解：由题意得，所以，当且仅当时，等号成立，则最小值为3．
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21．解：（1）
，
所以．
（2）因为，所以．
因为是锐角三角形的内角，所以或（舍去），
所以．又，
所以的面积．
22．（1）证明：如图1，连接，得，连接．
因为平面，所以．
又，所以平面，
所以在直角梯形中，，
所以，即是以为底边的等腰三角形，是的中点，所以．又，所以．
（2）解：如图2，取的中点，连接，可得．
所以过的平面把棱台分成斜棱柱和几何体
由题意得，
．
因为，
所以，故．
（3）解：如图3，取的中点，连接，则是平面和平面所成二面角的棱，由于平面，过作延长线的垂线，垂足为，连接，易证得为所求的角．
延长和交于点，过作的垂线，垂足为（如图4），易得，
，所以．
即平面和平面所成锐二面角的正切值为．
23．解：（1）由题意得函数的定义域为．
当时，不等式等价于，显然满足条件；
当时，不等式等价于，即，
解得．
综上，的解集为，
即当的取值范围为时，成立．
（2）（ⅰ）令
原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）．
当时，即为，所以至多一个实根①；
当时，即为，所以至多两个实根②．
由①知，），所以，
由②知，，所以或，
所以或，且．
当时，若，则有两个零点0和-1，符合题意．
当时，①无实根，对于②，只要，化简得，则，符合题意．
当时，若，则有三个不等实根，不符合题意．若，则有两个零点0和，符合题意．若，则仅有一个零点0，不符合题意．
综上所述，当时，的取值范围为．7分
（ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为，
显然，所以．
9分易得函数在上单调递减，所以，
所以．
