2023-2024学年北京市延庆区高二下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列，，，，的项数为( )
A. B. C. D.
2.由数字，，，构成的三位数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中二项式系数最大的项是( )
A. 第项和第项 B. 第项和第项 C. 第项 D. 第项
5.随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数的数学期望是( )
A. B. C. D.
6.盒子里有个球，其中有个白球和个红球，每次从中抽出个球，抽出的球不再放回，则在第次抽到白球的条件下，第次抽到红球的概率为( )
A. B. C. D.
7.若，且，则实数值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.设随机变量的分布列为
则的值为( )
A. B. C. D.
9.设是等差数列，且公差不为零，其前项和为则“，”是“为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知数列的通项公式设，，若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则 用数字作答
12.已知随机变量，则 ， ．
13.学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则 ．
14.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有 种．用数字作答
15.已知数列各项均为正数，其前项和满足给出下列四个结论：
的第项小于； 为等比数列；
为递减数列； 中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在的展开式中．
求第项的二项式系数；
求的系数；
求第项
17.本小题分
某中学有初中学生人，高中学生人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间单位：小时分为组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
写出的值；
试估计该校所有学生中，阅读时间不小于个小时的学生人数；
从阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响．
如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率；
如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率；
如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论．
19.本小题分
已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和；
设，且，求．
20.本小题分
已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点．
求椭圆的方程；
为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值．
21.本小题分
已知数列：，，，满足：；记．
直接写出的所有可能值；
证明：的充要条件是；
若，求的所有可能值的和．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.第项的二项式系数为．
展开式中的第项为，
由已知，令，则，则 ，
则的系数为．
因为，
求第项，即时，，
所以第项为．
17.解：由频率直方图的性质，，
解得，
由分层抽样可知：抽取的初中生有名，高中有名，
初中生中，阅读时间不小于小时的学生的频率为，
所有的初中生阅读时间不小于小时的学生约有人，
同理，高中生阅读时间不小于小时的学生的频率为，
学生人数约为人，
所有的学生阅读时间不小于小时的学生约有，
初中生中阅读时间不足个小时的学生的频率为，样本人数为人，
同理，高中生中阅读时间不足个小时的学生的频率为，
故的可能取值为：，，，
，，，
的分布列为：
．
18.记“甲投篮次，且命中”为事件
记“乙投篮次，且命中”为事件
记“甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中”为事件
由已知，
由已知，
法一：，，
则甲、乙两人各投篮次，两人中至少有人投篮命中概率为
法二：所以
答：甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率
记“甲投篮次，且至多有次投篮命中”为事件
因为甲每次投篮命中的概率为，
记投篮命中次数为，则的取值范围是
，
所以
答：甲投篮次，且至多有次投篮命中的概率为
根据题意，乙投篮次，命中的次数为，则，
故，
若，解得由于为整数，故
故乙投篮命中个球的概率最大．
19.当时，得
由已知
当时，，
得
所以
所以数列为等比数列，且公比为
因为，所以
设数列公差为，
由得
所以．
综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：．
设，前项和
即，即，解得
20.直线与坐标轴的两个交点为，而，则，，
所以椭圆的方程为．
设过点的直线为，由题意直线斜率存在，
设方程为，即，
由，消去得，
整理得，
由，得，
设，则，，
将代入得，直线的方程为，
令得，
则
因此点是线段的中点，所以．
21.解：Ⅰ的所有可能值是，，，，，，，．
Ⅱ证明：充分性：若，即．
所以满足，且前项和最小的数列是，，，，，．
所以．
必要性：若，即．
假设，即．
所以，
与已知矛盾．
所以．
综上所述，的充要条件是．
Ⅲ由Ⅱ知，可得，所以．
因为数列：，，，中有，两种，有，两种，
有，两种，，有，两种，有一种，
所以数列：，，，有个，
且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列．
所以这样的两数列的前项和是．
所以这个数列的前项和是．
所以的所有可能值的和是
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