涡阳县2023-2024学年高一下学期6月第三次月考
数学
考生注意：
1，本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
3．一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的85%分位数是（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3
4．若四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，，则（ ）
A．4 B． C．1 D．
6．用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．只有两次中靶 B．三次均未中靶 C．只有一次中靶 D．三次都中靶
8．在中，角的对边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B．
C． D．
10．为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是（ ）
A．总体上女性处理多任务平均用时较短
B．处理多任务的能力存在性别差异
C．男性的用时中位数比女性用时中位数大
D．女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数
11．如图，在棱长为1的正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则（ ）
A．的面积为定值 B．
C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，其中是实数，则______．
13．在正方体中，直线与所成角的大小为______．（用角度表示）
14．在中，已知向量与满足，且，则角______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中表示红色骰子向上一面的点数，表示蓝色骰子向上一面的点数．
（1）写出该试验的样本空间；
（2）指出所表示的事件；
（3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示．
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点．
（1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由；
（2）若，证明：．
17．（本小题满分15分）
已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18．（本小题满分17分）
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
（3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱锥中，为等边三角形，，点分别是线段的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
涡阳县2023-2024学年高一下学期6月第三次月考数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由题知．故选B．
2．D 依题意可知，而，所以没有公共点，与可能异面或平行，所以D选项正确．故选D．
3．A 将数据从小到大排序为1，1，2，2，2，2，3，3，5，5，因为不是整数，故取第9个数，第9个数为5，故这组数据的第85百分位数为5．故选A．
4．D 对于A，平行四边形对边平行且相等，所以，故A正确；
对于B，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确；
对于C，利用向量减法的三角形法则得，故C正确；
对于D，与是相等的非零向量，，故D错误．故选D．
5．C 由向量的加减，可得，，．故选C．
6．C 由题意，将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种，其中偶数有，共4种，事件“这个三位数是偶数”发生的概率为．故选C．
7．B 样本空间为：“三次均未中靶”“只有一次中靶”“只有两次中靶”和“三次都中靶”，事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”“只有两次中靶”和“三次都中靶”，所以选项A、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥，事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥．故选B．
8．A 由余弦定理得，即，当且仅当时，等号成立，故．因此，面积的最大值为．故选A．
9．AC 复数，在复平面内复数所对应的点位于第四象限，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选AC．
10．ABC 对于A，由图可知，女性处理多任务平均用时集中在2~3分钟，男性处理多任务平均用时在3~4分钟，A正确；
对于B，由A的分析可知B正确；
对于C，根据分布的特点，可知男性的用时中位数比女性用时中位数大，C正确；
对于D，女性和男性处理多任务的用时均为正数，D错误．故选ABC．
11．ABC 对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确；
对于B，因为在上，，所以，即，故B正确；
对于C，A到直线的距离等于到的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故二面角的大小为90°，故D错误．故选ABC．
12．0 由，得，所以，解得，所以．
13． 连接，易知，所以即为与所成的角或其补角，易知为等边三角形，故所求角为．
14． 设角的平分线交于，因为，故．设，（如图所示），，因为，故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上．因为，故，故．综上，为等腰直角三角形，所以．
15．解：（1）该试验的样本空间，．
（2）所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”．
（3）事件“点数之和不超过5”就是集合．
16．（1）解：是的中点，
理由如下：
若平面，由平面，平面平面，
得．
又是的中点，在上，
是的中点．
（2）证明：取的中点，连接，
为中点，
，
平面，
平面，
平面，
．
17．解：（1）在中，，
由正弦定理得，
．
又，
，
，
．
（2）在中，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
∴的面积为．
18．解：（1）由频率和为1，得，
解得；
设综合评分的平均数为，
则，
所以综合评分的平均数为81．
（2）由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为，非一等品记为；
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间，；
记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则，，
所以所求的概率为．
（3），
．
（注：其他解法参照给分）
19．（1）证明：，
又为等边三角形，，
在中，由余弦定理得，解得
，即．
平面，
平面．
（2）解：取中点，连接为等边三角形，，
又由（1）可知平面平面，
又，且平面平面．
为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离．
在中，可知，
在中，可知，
是的中位线，
，
可得的面积．
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
又的面积，
点到平面的距离为，
三棱锥的体积，
由，得，即点到平面的距离为．
