嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测
高一数学试题卷
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，下列几何关系表达正确的是（ ）
A．，，m，n共面
B．，，m，n共面
C．，，m，n异面
D．，，m，n异面
5．一个笔袋中装有4支不同的水笔，其中2支黑色，1支蓝色，1支红色，若从中任取2支，恰好取到1支黑色和1支红色水笔的概率为（ ）
A． B． C． D．
6，在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB与直线CD所成角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．已知数据，，，，，的平均数为10，方差为1，数据，，，的平均数为5，方差为3，将两组数据合在一起组成一个容量为10的新样本，则新样本的方差为（ ）
A．4.2 B．4.8 C．7.8 D．9.2
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（ ）
A．该组数据的极差为6 B．该组数据的众数为26
C．该组数据的中位数为25．5 D．该组数据的第70百分位数为26
10．如图，点A，B在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（ ）
A．，， B．，
C． D．
11．如图，已知正八面体（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为，则以下结论正确的是（ ）
A．点到平面的距离等于1
B．点到直线CT的距离等于1
C．球在正八面体外部的体积小于
D．球在正八面体外部的面积大于
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数满足（为虚数单位），则__________．
13．已知，，且与相互独立，__________．
14．如图，壕股塔位于嘉兴南湖西侧的南湖渔村中，某项目化学习小组为了测量其高度，选取与塔底O在同一水平面的三个测量点A，B，C，分别测得塔顶P点的仰角为30°，45°，30°，延长AB交OC于点D，经测量D为OC上靠近O点的三等分点，B为AD的中点，米，则塔高__________米．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（本题满分13分）已知向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求．
16．（本题满分15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，且，求a，c．
17．（本题满分15分）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题：
（1）若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；
（2）若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率．
18．（本题满分17分）如图，在三棱锥中，已知，，底面，E为SB中点，为线段BC上一个动点．
（1）证明：平面平面；
（2）若为线段BC中点，求二面角的余弦值；
（3）设为线段AE上的一个动点，若平面，求线段MF长度的最小值．
19．（本题满分17分）在中，已知，，，为线段BC上一个动点．
（1）若AD为的角平分线，求线段AD的长；
（2）将折起到的位置，记二面角的大小为．
i）若，且AD为的角平分线，求三棱锥外接球的面积；
ii）若，求三棱锥外接球的面积最小值．
嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测
高一数学参考答案
（2024．6）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B
第8题详解
解：由，解得，由，解得，
所以，如图，设，，，，，
解得．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABD 10．ABD 11．BCD
第11题详解
A．容易判断，错误
B．容易判断，正确
C．球在正八面体外部的体积小于球体积与正八面体内切球体积之差，正确
D．球在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积．每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，所以8个球冠的表面积大于，正确
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．0．6 14．60
第14题详解
解：设，设，
由，得，同理可得，，
由为OC上靠近点的三等分点，解得，
由，
解得，由，解得．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1），
所以，
解：（2），．
16．解：（1）由，
，
，
，解得，
所以，．
解：（2）由，，解得，
由：，解得：，
所以，或，．
17．解：（1）设总选项个数为，记事件“小明得6分”，选项个数为，
假设正确选项为AB，则，
列举法：单选项有A，B，C，D共计4个，
双选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共计6个，
三选项有，，，共计4个，
个（其它方法也可以，得分相同），
．
解：（2）设总选项个数为，记事件“小明得分大于等于4分”选项个数为
假设为答案小明已经判定正确（正确答案中有选项，且小明项必选）的情况下，
列举法：单选项有共计1个，且仅得2分，
双选项有AB，AC，AD共计3个，其中2个得4分，
三选项有，，共计3个，其中1得6分，
，，
．
18．证明：（1）因为，所以，
因为底面，平面，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，
因为，E为SB中点，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：（2）因为平面，
所以，，平面平面，
由二面角定义，可知为所求角，
设，可求出，，，
所以．
解：（3）过点作AB的垂线，垂足为，过点作，
因为，，且，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，，所以平面平面，
平面，所以平面．
设，，则，，，
解得，
所以当时，线段MF的最小值为．
19．解：（1）在中，已知，，，
由，因为直线AD为角平分线，
所以，解得，，
在中，，所以．
（2）在中，由（1）知，解得，
为AD中点，设外接圆为，半径为，，
由，解得，
，
在中，，解得，
为AD中点，设外接圆为，半径为，，
由，解得，，
因为OT为四边形中外接圆的直径，同时也为外接圆直径，
所以，
，
设二面角外接球半径为，
解得，
由，解得，
外接球表面积为．
（3）由为线段BC上一个动点，设，，
由（1）（2）方法解得：，
在中，由（1）知，解得，
为AD中点，设外接圆为，半径为，，
由，解得，，
在中，由，解得，
为AD中点，设外接圆为，半径为，，
由，解得，
，
设二面角外接球半径为，可知，
，
外接球表面积为，
当时，解得．
