成都外国语学校2023—2024学年度下期零诊模拟
高二数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分；
2．本堂考试120分钟，满分150分；
3．答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂；
4．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1．等差数列中，设前项和为，则等于（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A．7 B．23 C．—7 D．—23
5．已知服从正态分布的随机变量在区间和内取值的概率约为和．若某校高一年级800名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（ ）
A．780人 B．763人 C．655人 D．546人
6．小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．158 B．162 C．180 D．198
8．已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，与抛物线交于两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．为的中点
10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第12个数与第13个数之比为
11．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式
对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．曲线在点处的切线方程为______．
13．等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则______．
14．已知椭圆的左，右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．
（1）求的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
16．如图，已知四棱台的上，下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，点是棱的中点，点在棱上．
（1）当点在什么位置时，使得平面；
（2）若面与面所成角的正弦值为，求的长．
17．已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设分别是双曲线左，右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．
18．已知函数．
（1）已知，试比较与的大小；
（2）记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
19．已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
（1）若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
（2）设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；②求的最小值．
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高二数学参考答案
1—5BDBAC 6—8CBC 9ABD 10AB 11ABC
12． 13．8 14．
15．【详解】（1）由频率分布直方图知，
设第70百分位数为，前两组所占频率为，
前三组所占频率为，则位于第三组数据中，
所以，平均数
；
（2）由（1）知分数在内的两组学生分别有
人，所以各自抽取的人数分别为
人，显然“特优选手”有4人，
故可取，
，所以其分布列为：
0 1 2 3 4
16．【解答】解：
（1）当时，平面取中点，连接，，因为分别为和中点，由梯形的中位线定理得且，当时，即时，因为正方形，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面面，所以平面
（2）在平面中，作于，因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，在正方形中，过作的平行线交于点，则，分别以为所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系因为四边形是等腰梯形，，所以，又，所以，可得，，所以，
，设平面的法向量为，
由，则有，取，则，
设，则，
设平面的法向量为，由，则有，取，则，因为，
所以，因为面与面所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去），所以．
17．【详解】（1）由题知双曲线的渐近线方程为，不妨设，则焦点到渐近线的距离的离心率为
，故双曲线的标准方程为．
（2）由（1）可得，当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为，代入双曲线方程可得，不妨令，
则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零，
设直线的方程为，
联立，消去整理得，
，
，，
，
，
即，
，
或．当时，，不符合题意，．
，
，
解得，故直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
18．【解析】（1）当时，，
所以；当时，，所以综上，．
（2）因为所以
令，得或
因为在上单增，故在有
根，可知在上增，上减，在上增所以，的极大值点为且
且．故
所以，故．
19．【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得
，解得，则
，于是
，即，所以数列具有性质．
（2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
当时，，而，整理得，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，当时，恒成立，满足题意；
当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾；
所以．②由，得，即，
因此，即，则，
由数列各项均为正数，得，从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，因此当时，恒成立，符合题意，所以的最小值为4．
