【专题培优】一元二次方程与整体转化思想
一．选择题（共10小题）
1．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，则代数式3a2﹣6a+3的值为（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝a代入已知方程，即可求得a2﹣2a＝1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【详解】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴a2﹣2a＝1，
则3a2﹣6a+3＝3（a2﹣2a）+3＝3×1+3＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．当（m2+n2）（m2+n2﹣2）+1＝0时，m2+n2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0
【答案】B
【分析】利用换元法，设m2+n2＝x，则原方程变为x（x﹣2）+1＝0，再求解即可．
【详解】解：设m2+n2＝x，则原方程变为x（x﹣2）+1＝0，
∴x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，
∴m2+n2＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查的是换元法解一元二次方程，熟练掌握用换元法解一元二次方程是解题的关键．
3．若（m2+n2）（1﹣m2﹣n2）+6＝0，则m2+n2的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．﹣3或2
【答案】A
【分析】先将等式变形为（m2+n2）﹣（m2+n2）2+6＝0，再由十字相乘法解一元二次方程可得m2+n2＝3．
【详解】解：∵（m2+n2）（1﹣m2﹣n2）+6＝0，
∴（m2+n2）[1﹣（m2+n2）]+6＝0，
∴（m2+n2）﹣（m2+n2）2+6＝0，
∴[（m2+n2）﹣3][（m2+n2）+2]＝0，
解得m2+n2＝3或m2+n2＝﹣2，
∵m2+n2≥0，
∴m2+n2＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，十字相乘法解一元二次方程，整体的数学思想是解题的关键．
4．已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝2，ab＝﹣1，再代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，
∴2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义得出a2﹣2024a+1＝0，然后变形为a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，，代入要求的式子计算即可．
【详解】解：∵a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2024a+1＝0，
∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a≠0，
∴，
即，
∴
＝2024a﹣1﹣2023a
＝a﹣1
＝2024﹣1
＝2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，准确进行计算是解题的关键．
6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝36，则一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】C
【分析】根据题意可判断一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根为x﹣1＝36．
【详解】解：∵a（x+1）2+bx+b＝﹣2，
∴a（x+1）2+b（x+1）+2＝0．
又∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝36，
∴一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根为x+1＝36．
∴x＝35．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a2+a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】先根据已知条件求出a2﹣a的值，从而求出﹣a2+a的值，最后把所求的值整体代入所求代数式进行解答即可．
【详解】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a2+a+2024
＝﹣1+2024
＝2023，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．
8．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2024，则方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定有实数根（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的定义：将x＝2024代入方程ax2+bx＝c中，再两边同时除以20242，可得结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）一个实数根为2024，
∴20242a﹣2024b＝c，
∴a，
∴a，
∴x是方程cx2+bx＝a的实数根．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键．
9．已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+4＝0，变形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0，
∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，
∴原式＝2020a﹣4﹣2019a7
＝a﹣47
3
3
＝2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
10．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
【答案】C
【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解．
【详解】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案．
二．填空题（共6小题）
11．用换元法解方程，设y，则得到关于y的整式方程为 y2﹣10y﹣6＝0 ．
【答案】y2﹣10y﹣6＝0．
【分析】设y，则，，转化后再进一步整理得到整式方程即可．
【详解】解：设y，
∴，，
则原方程为：，
整理得：y2﹣10y﹣6＝0．
故答案为：y2﹣10y﹣6＝0．
【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．
12．若（x2+y2）（x2+y2﹣3）＝40，则x2+y2＝ 8 ．
【答案】8．
【分析】设x2+y2＝a，则原方程可化为a（a﹣3）＝40，整理得：a2﹣3a﹣40＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：设x2+y2＝a，则原方程可化为a（a﹣3）＝40，
整理得：a2﹣3a﹣40＝0，
（a﹣8）（a+5）＝0，
a﹣8＝0或a+5＝0，
a1＝8，a2＝﹣5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
13．若x1＝m，x2＝n是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则mn﹣m﹣n＝ ﹣7 ．
【答案】﹣7．
【分析】先由跟与系数的关系求得mn和m+n的值，再整体代入求解．
【详解】解：由题意得，m+n＝2，mn＝﹣5，
∴mn﹣m﹣n
＝mn﹣（m+n）
＝﹣5﹣2
＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系的运用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
14．已知x，y满足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．
（1）x﹣y的值为 1 ；
（2）若x2+y2＝6，则xy的值为 ．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）把x﹣y看成一个整体，利用完全平方公式求解；
（2）利用（1）的结果，变形完全平方公式得结论．
【详解】解：（1）∵（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．
∴（x﹣y﹣1）2＝0．
∴x﹣y﹣1＝0．
∴x﹣y＝1．
故答案为：1．
（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2
＝6﹣12
＝5．
∴xy．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程、完全平方公式等知识点．掌握一元二次方程的因式分解法及完全平方公式的变形是解决本题的关键．
15．已知a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则 2 ．
【答案】2．
【分析】将一个根a代入x2﹣3x+1＝0，可得：a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，代入要求的代数式，整理化简即可．
【详解】解：∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a3，
∴
＝3a（a2﹣3a）+a2+a
＝﹣3a+a2+a
＝a2﹣2a
＝a2﹣3a+a
＝﹣1+3
＝2．
故答案为：2．
【点睛】考查了一元二次方程的解，本题规律为：已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；利用整体法代值计算，此题有难度．
16．若实数x满足2x2+5x1＝0，则x2 7 ．
【答案】7．
【分析】把1写成4与﹣3的和，利用完全平方公式构造关于（x）的二次方程，利用整体的思想先求解，再求x2的值．
【详解】解：∵2x25x1＝0，
∴2x2+45x3＝0，
∴2（x2+2）+5（x）﹣3＝0．
∴2（x）2+5（x）﹣3＝0．
∴[2（x）﹣1][（x）+3]＝0．
∴x或x3．
∴（x）2或（x）2＝9．
∴x2+2或x2+29．
∴x2（不合题意舍去）或x27．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握整体的思想、完全平方公式及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x3＝2，x4＝﹣2．所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24＝0的解．
【答案】x1＝2，x2＝﹣4，x3＝﹣3，x4＝1．
【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y2﹣11y+24＝0，利用因式分解法解得y1＝8，y2＝3，则x2+2x＝8或x2+2x＝3，然后分别解关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y2﹣11y+24＝0，
解得y1＝8，y2＝3，
当y＝8时，x2+2x＝8，
解得x1＝2，x2＝﹣4；
当y＝3时，x2+2x＝3，
解得x3＝﹣3，x4＝1，
所以原方程的解为x1＝2，x2＝﹣4，x3＝﹣3，x4＝1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．若m，n为正实数，设k，若t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根．
（1）求证：（t+m）2＝m2+n2．
（2）若k，求的值．
（3）用含k的代数式表示．
【答案】（1）见解析；
（2）的值为；
（3）k．
【分析】（1）解关于x的方程x2+2mx＝n2：得到（x+m）2＝m2+n2，由t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，得到（t+m）2＝m2+n2；
（2）根据已知条件得到mn，解方程t2+nt﹣n2＝0，即可得到结论；
（3）由k，得到m＝kn，解方程t2+2knt﹣n2＝0，解得t＝﹣kn+n（负值舍去），即可得到结论．
【详解】（1）证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2：
得x2+2mx+m2＝m2+n2，
∴（x+m）2＝m2+n2，
∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，
∴（t+m）2＝m2+n2；
（2）解：∵k，
∴mn，
∴x2+nx﹣n2＝0，
∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根，
∴t2+nt﹣n2＝0，
解得tn（负值舍去），
∴的值为；
（3）解：∵k，
∴m＝kn，
∴x2+2knx﹣n2＝0，
∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根，
∴t2+2knt﹣n2＝0，
解得t＝﹣kn+n（负值舍去），
∴k．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，正确地理解一元二次方程的解是解题的关键．
19．【注重阅读理解】阅读材料：
为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体．
解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．
故原方程的解为x1，x2，x3，x4．
解答下列问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0．
【答案】（1）换元；
（2）x1，x2，x3，x4．
【分析】（1）利用换元法解一元二次方程，即可解答；
（2）仿照例题的解题思路，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元；
（2）（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0，
设x2+x＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得：y1＝1，y2＝4，
当y＝1时，x2+x＝1，
∴x2+x﹣1＝0，
∴x，
∴x1，x2；
当y＝4时，x2+x＝4，
∴x2+x﹣4＝0，
∴x，
∴x3，x4；
故原方程的解为x1，x2，x3，x4．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解一元二次方程﹣因式分解法，数学常识，一元二次方程的解，理解例题的解题思路是解题的关键．
20．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若2x1+x2+k＝4，试求k的值．
【答案】（1）k；（2）k＝5．
【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△≥0，由此可求k的取值范围；
（2）由一元二次方程的解的定义得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，然后让代入即可求得k．
【详解】解：（1）方程x2+3x+k﹣3＝0中，
a＝1，b＝3，c＝k﹣3，
由题意可知：Δ＝32﹣4（k﹣3）≥0，
解得：k；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，
∴3x1+k﹣3＝0，即3x1﹣k+3，
∵2x1+x2+k＝4，
∴﹣3x1﹣k+3+2x1+x2+k＝4，即：x2﹣x1＝1①．
x1+x23②，
联立①②解得：，
即：（﹣2）2+2×（﹣2）+（﹣1）+k＝4，
解得：k＝5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题关键．
21．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，然后解该方程即可．
【详解】解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，
整理，得
16t2﹣9＝27，
所以t2．
∵t≥0，
∴t．
∴x2+y2的值是．
【点睛】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
22．小明在解方程2时采用了下面的方法：由
（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有2，可得8，将这两式相加可得，将5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程18的解是 x＝±3 ；
（2）解方程4x．
【答案】（1）x＝±3；（2）x＝3．
【分析】（1）由所给方法，可得10，再解方程即可；
（2）由所给方法，可得2x+1，再解方程即可．
【详解】解：（1）（）（）＝x2+46﹣（x2+10）＝36，
∵18，
∴2，
将这两式相加可得10，
∴x2+46＝100，
解得x＝±3，
经检验，x＝±3是原方程的解，
故答案为：x＝±3；
（2）（）（）＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x，
∵4x，
∴2，
将这两式相加可得2x+1，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
【点睛】本题考查无理方程的解，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键．
23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，则方程x2﹣x＝0是“连根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2﹣3x+2＝0是否是“连根方程”；
（2）已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“连根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“连根方程”，请直接写出b，c之间满足的关系式．
【答案】（1）x2﹣3x+2＝0是连根方程；
（2）m1＝﹣1，m2＝﹣3；
（3）b2﹣4c＝1．
【分析】（1）因式分解法解方程，根据“连根方程”的定义，进行判断即可；
（2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为a+1，根据根与系数的关系进行求解即可；
（3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系，求解即可．
【详解】解：（1）∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得：x1＝1，x2＝2，
∵2﹣1＝1，
∴x2﹣3x+2＝0是连根方程；
（2）∵方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“连根方程”，
设x2+（m﹣2）x﹣2m＝0的两个根为a，a+1，
∴a+a+1＝2﹣m，a（a+1）＝﹣2m，
∴，
∴，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣3；
（3）方程x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“连根方程”，
设方程的两个根为：x1，x2，且x1＝x2﹣1，
∴x2﹣x1＝1，
∴，
∴x1+x2＝﹣b，x1 x2＝c，
∴；
故b2﹣4c＝1．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，掌握“连根方程”的定义，是解题的关键．
【专题培优】一元二次方程与整体转化思想
一．选择题（共10小题）
1．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，则代数式3a2﹣6a+3的值为（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
2．当（m2+n2）（m2+n2﹣2）+1＝0时，m2+n2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．0
3．若（m2+n2）（1﹣m2﹣n2）+6＝0，则m2+n2的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．﹣3或2
4．已知a，b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝36，则一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
7．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a2+a+2024的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2024，则方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定有实数根（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．
9．已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
10．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
二．填空题（共6小题）
11．用换元法解方程，设y，则得到关于y的整式方程为 ．
12．若（x2+y2）（x2+y2﹣3）＝40，则x2+y2＝ ．
13．若x1＝m，x2＝n是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则mn﹣m﹣n＝ ．
14．已知x，y满足（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0．
（1）x﹣y的值为 ；
（2）若x2+y2＝6，则xy的值为 ．
15．已知a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则 ．
16．若实数x满足2x2+5x1＝0，则x2 ．
三．解答题（共7小题）
17．解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x3＝2，x4＝﹣2．所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24＝0的解．
18．若m，n为正实数，设k，若t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一个正实根．
（1）求证：（t+m）2＝m2+n2．
（2）若k，求的值．
（3）用含k的代数式表示．
19．【注重阅读理解】阅读材料：
为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体．
解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±．
故原方程的解为x1，x2，x3，x4．
解答下列问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0．
20．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若2x1+x2+k＝4，试求k的值．
21．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
22．小明在解方程2时采用了下面的方法：由
（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有2，可得8，将这两式相加可得，将5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程18的解是 ；
（2）解方程4x．
23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，则方程x2﹣x＝0是“连根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2﹣3x+2＝0是否是“连根方程”；
（2）已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“连根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“连根方程”，请直接写出b，c之间满足的关系式．
