江苏省部分学校2023-2024学年高一下学期6月联合测评
数学试卷解析版
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】.
故选：D.
2．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，
因为，且两两之间距离为1．，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，
.
故选：C.
3．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，
又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为
，
又因为球的半径为1，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，
如图，过球心作的垂线交于，
则，
又因为，所以，
又与相似，所以，
所以，
因为外接圆的半径为，
正三棱锥外接球的球心在上，设半径为，
所以，即，
解得.
故选：.
4．一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【详解】因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误；
则,
,A与B相互独立，C选项正确；
A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误；
故选：C.
5．如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ）
A．50 B．80 C．86 D．110
【答案】B
【详解】因为在中，是上的两个三等分点，，
所以，
，
所以
.
故选：B
6．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【详解】在正方体中，取，，
连接，，，，，，如下图所示：
因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，，
所以，且，则四边形为平行四边形，则，，
又因为，且，所以四边形为平行四边形，
则，，
所以，，所以为平行四边形，
则正方体中过点，，的截面形状为四边形.
故选：B
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，，
由正弦定理可得，即，
所以，所以或（舍去），所以，
由正弦定理得,，
而，，所以，
所以，所以，所以的取值范围为.
故选：B
8．某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（ ）
A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时
D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时
【答案】C
【详解】对于A，该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：天，故A错误；
对于B，估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，故B错误；
对于C，的频率为，的频率为，
则该学生每日完成作业时间的中位数为，故C正确；
对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为，故D错误；
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】ACD
【详解】由题意，
设
A项，，
，
∴,A正确；
B项，当时，若两复数是虚数，不能比较大小，B错误；
C项，，
，
，
当时，
，，
∴，任取，或，任取，
即至少有一个为0
∴（其中至少有两项为0），C正确；
D项，∵，∴，
∵，∴，即，D正确；
故选：ACD.
10．在中，内角所对的边分别为，已知为线段上一点，则下列判断正确的是（ ）
A．为钝角三角形
B．的最大内角是最小内角的2倍
C．若为中点，则
D．若，则
【答案】BCD
【详解】由题知内角所对的边分别为，由正弦定理可知，
不妨设，则，
对于A，由上知为最大边，故为最大角，由余弦定理知，故为锐角，
所以为锐角三角形，故错误；
对于，由上知为最小角，且，
又，知，且均为锐角，则，故B正确；
对于，平方得
，又，故，故C正确；
对于D，由，得，又，
所以，由，
即，
故，故D正确，
故选：BCD.
11．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设E为空间内任一点，且A，B，C，D，E五点在同一个球面上，则（ ）
A．四面体的表面积为
B．四面体的体积为
C．当时，点E的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
【答案】AC
【详解】对于A中，因为四面体的各个面均为全等的等腰三角形，
且，
设为的中点，连接，则，
所以，
则四面体的表面积为，所以A正确；
对于B中，将四面体放入长方体中，如图所示，
设长方体的相邻的三条棱长分别为，
则，解得，
由，所以异面直线和的距离为，
因为为的中点，在等腰和中，可得，
又因为且平面，所以平面，
所以四面体的体积为，所以B错误；
对于C中，由四面体的外接球和补成的长方体的外接球为同一个球，
设四面体的外接球的半径为，可得，所以，
由，可得点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，
则，解得，
所以轨迹的长度为，所以C正确；
对于D中，由题意得，所以，
所以的外接圆的半径为，
所以球心到所在平面的距离为，
设三棱锥的高为，
由三棱锥的体积为时，可得，
解得，又由，
所以点的轨迹为外接球上平行于平面且到平面的距离为的两个截面圆，
其中一个圆为外接球的大圆，所以点的轨迹长度大于，
因为点的轨迹为外接球上平行于平面两个截面圆，所以轨迹的长度大于，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】设，则，
在中，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，当时，有最小值，此时取最小值，
所以.
故答案为：.
13．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ．
【答案】
【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数，
若为正整数，故，其中为正整数，
故，，
因为在区间中的数据有且只有5个，
故这个5个数分别为，故即，
但当时，，此时至少有6个，
故，
当时，即为，共5个，符合；
当时，即为，共6个，不符合；
当时，即为，共7个，不符合；
若为不是整数，故，其中为正奇数，
设，其中为正整数，
则，且，故，
故，，
因为在区间中的数据有且只有5个，
故这个5个数分别为，故即，
但当，，此时至少有6个，
故，
当时，即为，共5个，符合；
当时，即为，共6个，不符合；
当时，即为，共7个，不符合；
综上，符合条件的为，，
故答案为：.
14．已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为 .
【答案】/
【详解】设外接球半径为，则，解得，故，
由于均在球面上，故，
由勾股定理得，
取的中点，连接，则⊥，⊥，
，
又，平面，故⊥平面，
其中，由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
故，
故，
故三棱锥的体积为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得，
又，，故，，
所以，又，故.
（2），又，
在中，由余弦定理，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
16.（本小题15分）
如图，在直三棱柱中，，，．D，E分别是棱的中点，点F在线段上．
(1)若，求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）
连接,在直三棱柱中，，所以．
又因为，，
所以，
故，即A，F，三点共线．
因点D，E分别是棱、的中点，
故，又平面，平面，
所以平面．
（2）
过点B作，垂足为点H，连接FH，FB．
在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
又，，所以平面．
故是斜线在平面上的射影，
所以就是直线与平面所成的角．
记点F到平面的距离为，
，得．因,
故得F为的中点，即．
在中，因,则,
于是，，，．
求得，故．
所以直线与平面所成角的正切值为．
17.（本小题15分）
若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
(1)求和的值；
(2)求两次摸到的不都是红球的概率．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果．
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有8种，即，
所以．
第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，
所以．
（2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，
则两次摸到都是红球的概率，
故两次摸到的不都是红球的概率．
18.（本小题17分）
如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
(1)证明：；
(2)已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②．
【详解】（1）证明：在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以；
（2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，
在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又由（1）可知，所以，
又，，，，，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
在圆台中，，，
所以，所以，
所以，所以，
连接，交于点，所以，
所以，到平面的距离之比，
所以；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，
在平面内过点作的平行线交于点，连接，
易得，因为平面，所以平面，
所以为母线与下底面所成角，
因为，，所以，所以，
要使最小，只要最小即可，
因为，所以，所以，
设，因为为圆的直径，所以，
所以，，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，因此为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
在中，由勾股定理得，所以，
所以二面角的正弦值为．
19.（本小题17分）
在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足
(1)求角；
(2)为边上一点，，且求的最小值.
(3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由及，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以，即，
因为，
所以，
即；
（2）在中，由正弦定理可得：，即，
在中，由正弦定理可得：，即，
且与互为补角，可得，
即，又，且，即，所以，
又，所以，所以为的角平分线，
所以，
由可得，
所以，解得，当且仅当时取得等号，
即的最小值为，
所以；
即的面积的最小值为；
（3）设圆半径为，则，
设，，则，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
江苏省部分学校2023-2024学年高一下学期6月联合测评
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B．
C． D．
2．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
4．一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
5．如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ）
A．50 B．80 C．86 D．110
6．在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（ ）
A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时
D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若且，则
10．在中，内角所对的边分别为，已知为线段上一点，则下列判断正确的是（ ）
A．为钝角三角形
B．的最大内角是最小内角的2倍
C．若为中点，则
D．若，则
11．已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设E为空间内任一点，且A，B，C，D，E五点在同一个球面上，则（ ）
A．四面体的表面积为
B．四面体的体积为
C．当时，点E的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .
13．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ．
14．已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.
16.（本小题15分）
如图，在直三棱柱中，，，．D，E分别是棱的中点，点F在线段上．
(1)若，求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正切值．
17.（本小题15分）
若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
(1)求和的值；
(2)求两次摸到的不都是红球的概率．
18.（本小题17分）
如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
(1)证明：；
(2)已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
19.（本小题17分）
在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足
(1)求角；
(2)为边上一点，，且求的最小值.
(3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值.
