铝城中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
参考答案
1．A
【详解】若，且，则，解得，
所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
2．B
【详解】由，
则，即，
整理可得，所以为直角三角形.故选：B
3．B
【详解】因为△ABC的面积为，所以，则，
由余弦定理得，
由，得，解得，
从而，所以.故选：B.
4．A
【详解】解：设圆台的比较小的底面半径为，比较大的底面的半径为，
则由已知可得，因为圆台的侧面积为，
解得，故选：A．
5．B
【详解】以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
设，则，，，，
所以，．
设，则，
解得，所以，
即，故选：B
6．A
【详解】电路由上到下有2个分支并联，开关A，B所在的分支不通电的概率为，
开关C，D所在的分支不通电的概率为，所以灯亮的概率为.
故选：A.
7．D
【详解】依题意可得如下图形，
在中，，，，
由正弦定理得，，解得，，
在中，，所以，．
所以树的高度为米．故选：D．
8．D
【详解】
因为平面，平面，
所以，又因为，，
所以，因此，
于是，
圆锥体积为，因此选项A不正确；
圆锥的侧面积为，因此选项B不正确；
连接，设的中点为，所以
因为为底面直径，所以，因此有，
因为，的中点为，所以，
因为二面角为，
所以，于是有，
于是有，因此，
因此选项C不正确；
的面积为，
因此选项D正确，故选：D
9．CD
【详解】对于A：因为，，显然不存在实数使得，
故与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与不垂直，故B错误；
对于C：，所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D：因为，所以，故D正确.故选：CD
10．ABC
【详解】对于A，若，则平均数为，故A正确；
对于B，因为，所以第2个数为第25百分位数，故B正确；
对于C，若，则这组数据从小到大排列为2，3，4，6，6，所以中位数为4．故C正确；
对于D，计算平均数为5，则方差，故D错误．故选：ABC．
11．AB
【详解】对于A，当平面平面时，点到平面的距离最大，此时三棱锥的体积最大，
作，垂足为，
平面平面，平面，平面，
，，
又，，
即三棱锥的体积最大值为，A正确；
对于B，和均为以为斜边的直角三角形，
中点到四点的距离相等，即中点为三棱锥的外接球球心，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球体积，为定值，B正确；
对于C，假设异面直线与所成角的最大值为，则此时，
又，，平面，平面，
平面，，是以为斜边的直角三角形，
，与已知矛盾，假设错误，C错误；
对于D，设与平面所成角为，点到平面距离为，则，
当点到平面距离最大时，与平面所成角最大，
当平面平面时，点到平面距离最大，此时，
即，，D错误.
故选：AB.
12．
【详解】
.故答案为：.
13．16
【详解】，
还原回原图形后，
，，
,
原图形的面积周长为故答案为：16.
14．/0.3
【详解】由已知三次投篮恰有两次命中情形有：三组
故可以估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率故答案为：
15．
【详解】（1）从个球中有放回的随机取两次，该试验的样本空间
；
（2）证明：事件包含的样本点为，；
事件包含的样本点为，；
而事件表示“第一次取出的球的数字是且两次取出的球的数字之和是”，
它包含的样本点为，；
故．
16．
【详解】（1）选①
因为，所以，
由正弦定理可得，即，
由于在中 ，从而或，
因为，故舍去，所以；
选②
因为，所以，即，
由正弦定理可得，即，
由于在中 ， ，
从而，因为，所以.
（2）若选①，由以上解答可知，或，
因为，故不合题意，所以，则，
由余弦定理 ，可得，解得，
因为，所以，
从而的面积为.
若选②，由（1）解答可知，，则，
由余弦定理 ，可得，解得，
因为，所以，
从而的面积为.
17．
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为是平行四边形，故为中点，
又为侧棱的中点，故.
又平面，平面，故平面.
（2）因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面平面，平面，
所以.
18．
【详解】（1）第一组的频率为x，则第五组的频率为2x.
依题意得，解得.
所以第一组的频率为0.05，则第五组的频率为0.10.
频率分布直方图如下：
（2）因为第4组和第5组的频数之比为2：1，
所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人.
所以这6人得分的平均数.
方差
19．
【详解】（1）若平面，则，
由已知，得，
这与矛盾，所以与平面不垂直．
（2）取、的中点、，连接、、，
由，，得，，
为直角梯形的中位线，，又，
平面，
由平面，得，又且梯形两腰、必交，
平面,又平面，
平面平面,
（3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角,
作于，连，由于平面,平面,故,
,平面,故平面
平面,所以 故为二面角的平面角,
即，由已知，得，
又．，
． ，
故二面角的大小为．
铝城中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
考试范围：必修第二册
姓名：___________ 班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
4．圆台的一个底面周长为另一个底面周长的2倍，母线长为4，圆台侧面积为36，则圆台较小底面半径为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚 耐压 耐磨 防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
（第7题）
A． B． C． D．
7．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。
9．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．在上的投影向量为 D．
10．知一组数据：，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平均数为4.4 B．若，则第25百分位数为3
C．若，则中位数为4 D．若，则方差为40
11．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：（ ）
A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变
C．异面直线与所成角的最大值为D．与平面所成角的最大值为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，满足，，与的夹角为，则 ．
13．如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形的周长为 .
14．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：
204 978 171 935 263 321 947 468 579 682，
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取个球．用表示试验的样本点，其中表示第一次取出的基本结果，表示第二次取出的基本结果．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）用表示事件“第一次取出的球的数字是”；用表示事件“两次取出的球的数字之和是”，求证：．
16．（15分）在①；②两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答.
在中，角的对边分别为，___________.
(1)若，求A；
(2)已知，求的面积.
17．（15分）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.
(1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：.
18．（17分）暑假期间，某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍.
(1)求第一组、第五组的频率并补全频率分布直方图（用阴影涂黑）；
(2)现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数，方差，第五组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？
19．（17分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．
(1)证明：与平面不垂直；
(2)证明：平面平面；
(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．
