2023-2024学年重庆市九龙坡区渝高中学高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则( )
A.
B.
C.
D.
2.丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果设函数在上的导函数为，记在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”则下列函数在上是“凹函数”的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.若函数的极值点是，则( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.若曲线与曲线：有公切线，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求函数的导数正确的是( )
A. B.
C. D.
10.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. 是的极小值点
C. 函数在上有极大值 D. 是的极大值点
11.已知函数，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的图象在点处的切线方程为______．
13.函数的单调增区间为______．
14.记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”已知：，，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列函数的最值：
，；
，．
16.本小题分
设函数．
Ⅰ若曲线在点处与直线相切，求，的值；
Ⅱ求函数的单调区间与极值点．
17.本小题分
已知函数的图象经过点．
求曲线在点处的切线方程；
曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
讨论的单调性；
若，当时，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值．现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法“牛顿切线法”．
证明：有唯一零点，且；
现在，我们任取开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值．
(ⅰ)设，求的解析式用表示；
(ⅱ)证明：当，总有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.和
14.
15.解：，
因为，
所以，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为；
，
由得舍或，
当时，，所以函数在单调递增，
当时，，所以函数在单调递减，
故，
又，，
所以．
16.解：Ⅰ，
曲线在点处与直线相切，
Ⅱ，
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
此时是的极大值点，是的极小值点．
17.解：依题意可得，则．
所以，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
设切点为，则
消去，整理得，
解得或，
所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
18.解：由 得，
当时，则，即 在 上是增函数；
当时，令 得，令 得，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
由题意知：，，
即，
即函数 在 上为增函数，
只需，即，
令，则，由 得，
当 时，；当 时，；
所以 在上单调递减，在 上单调递增，
所以，则，即，
所以实数 的取值范围为．
19.证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且；
解：由知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
令得，
所以，切线与轴的交点，即，
所以，；
证明：对任意的，由知，曲线在处的切线方程为：，
故令，
令，
所以，，
所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由知，，且当时，，
若，则，故任意，显然矛盾，
因为是的零点，
所以，
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有，
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，，，
所以，
综上，当，总有．
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