2023-2024学年吉林省长春五中高二（下）第一学程数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
2.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
3.用、、、、这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中常数项是，则( )
A. B. C. D.
5.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
6.老师有本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则，，的大关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则( )
A. B.
C. 双曲线的方程为 D.
11.已知，则( )
A. 展开式中所有二项式的系数和为
B. 展开式中二项式系数最大项为第项
C.
D.
12.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递减
B. 是函数的极大值点
C. 函数有个零点
D. 若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的导函数为，满足关系式，则的值为______．
14.已知直线过抛物线：的焦点，与相交于，两点，且若线段的中点的横坐标为，直线的斜率为______．
15.已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为______．
16.定义在上的奇函数的导函数满足，且函数的周期，若，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
求证：平面；
求二面角的正切值．
19.本小题分
已知函数，其图象在点处的切线方程为．
求函数的解析式；
求函数在区间上的最值．
20.本小题分
椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为．
求椭圆的方程；
设直线过点，且与椭圆相交于，两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．
21.本小题分
已知函数．
试讨论函数的单调性；
当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
参考答案
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17.解：因为，令得，
因为，
所以，
两式相减得，
即．
所以，
所以，
即，
所以当时，，
又，所以．
由可得，
所以．
18.证明：设，则是中点，连接，
又是中点，，
又平面，平面，
平面；
解：，，
平面，平面，
，同理，
，，平面，
平面，而平面，故BC，
是二面角的平面角，
在直角中，，，
，
二面角的正切值为．
19.解：由可得：，
所以在点处切线的斜率为，
因为在点处切线方程为，
所以切线的斜率为，且，
所以，即，
解得，，
所以；
由知，
则，
令得或，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，
所以在处，取得极大值，在处取得极小值，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为．
20.解由题意得：，
解得，
所以椭圆的方程为；
由可知，，
所以，
由题意可知直线斜率必存在，设直线：，
设，，
联立，整理可得：，
，
，，
所以，
所以，
令，可得，
所以，
则，
又所以在单调递增，
所以当，即，
即时，面积最大．
此时直线：．
21.解：由函数可得，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是；无单调递增区间．
当时，令解得，
令，解得；
令，解得，
所以的单调递减区间是；单调递增区间是，
综上所述：当时，的单调递减区间是；无单调递增区间，
当时，的单调递减区间是；单调递增区间是．
当时，不等式恒成立，
即，
即，
，
，
，
，
即，
令，
，
令，
，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以存在唯一一点，使，
即，所以，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增；
所以，
，
，
因为，
所以，
即，
所以，
所以整数的最大值是．
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