2023-2024学年贵州省遵义市高一（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，则( )
A. B. C. D.
4.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间：
一周内课外阅读时间小时
人数
这名学生的一周内课外阅读时间的分位数是( )
A. B. C. D.
6.欧几里得大约生活在公元前年至公元前年，著有几何原本光学曲面轨迹已知数等著作若从这部著作中任意抽取部，则抽到光学的概率为( )
A. B. C. D.
7.有一组样本数据，，，其中是最小值，是最大值的平均数为，方差为，中位数为，则( )
A. ，，，的平均数为
B. ，，，的方差为
C. ，，，的中位数为
D. ，，，的极差为
8.定义为不超过的最大整数，如，，，已知函数满足：对任意当时，，则函数在上的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数，，下列结论正确的是( )
A. 若在复平面内对应的点在第二象限，则
B. 若，则在复平面内对应的点在第二象限
C. 是实数
D. 复数的实部大于虚部
10.已知平面向量，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为
11.在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积为，下列结论正确的是( )
A. 若，则的最大值为 B. 若，则的最大值为
C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某社区有男性居民名，女性居民名，该社区卫生服务站为了解该社区居民的身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用等比例分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为的样本，则样本中男性居民的人数为______．
13.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积为______．
14.已知复数，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足．
求；
若，证明：．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求的面积．
17.本小题分
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式某直播平台工作人员在问询了解了本平台个直播商家的利润状况后，随机抽取了个商家的平均日利润单位：百元进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示．
求的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多？并说明理由．
18.本小题分
某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费元不足小时的部分按小时计算现有甲、乙两人在该停车场停车两人停车时长互不影响且都不超过小时．
若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过小时，小时以上且不超过小时这三个时段的可能性相同，求甲停车的费用不超过元的概率；
若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过小时，小时以上且不超过小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车的费用之和为元的概率；
甲、乙停车不超过半小时的概率分别为，，停车半小时以上且不超过小时的概率分别为，，求甲、乙两人临时停车的费用不相同的概率．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
证明：．
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：设，则，
因为，所以，
所以，即，又因为，所以，
所以或；
证明：由知，，即，
所以．
16.解：在中，，
，
；
中，由得，
又，，
由余弦定理得：，
，
，
．
17.解：由题意可知，解得，
设中位数为，则，解得，所以中位数为，
平均数为．
由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为，所以方案一受到奖励的商家更多．
18.解：由题意，甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过小时，小时以上且不超过小时这三个时段的可能性相同均为，
且三段时间费用分别为，，元，
故甲停车的费用不超过元的概率为．
设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，，
所以甲、乙两人停车付费的所有可能情况为：，，，，，，，，，共种，且概率相等，
其中事件“甲、乙两人停车付费之和为元”包含，，共种情况，
故甲、乙两人停车付费之和为元的概率为．
设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别为事件，，
甲停车的时长在半小时以上且不超过小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过小时分别为事件，，
甲停车的时长为小时以上且不超过小时、乙停车的时长在小时以上且不超过小时分别为事件，，
则，
，
所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为
，
所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为．
19.证明：因为，即，
所以，
即，
在内，可得，
即证得；
解：因为，
，可得，
，可得，
所以，
可得，
由正弦定理可得：，
即
，
令，
令，，
函数单调递增，
所以．
即的范围是．
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