2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数是虚数单位的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知是平面的一条斜线，直线，则( )
A. 存在唯一的一条直线，使得 B. 存在无限多条直线，使得
C. 存在唯一的一条直线，使得 D. 存在无限多条直线，使得
3.折纸发源于中国世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支我国传统的一种手工折纸风车如图是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则下列结论成立的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.在空间，已知直线及不在上两个不重合的点、，过直线作平面，使得点、到平面的距离之比为：，则这样的平面不可能有( )
A. 无数个 B. 个 C. 个 D. 个
三、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.对于复数是虚数单位， ______．
6.二面角的取值范围是______用区间表示
7.化简： ______．
8.已知，，则 ______．
9.已知向量，，若，则实数 ．
10.若为虚数单位为方程的一个根，则 ______．
11.如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为______．
12.在如图所示的正方体的条棱所在直线中，与直线异面的直线有______条．
13.若平面内不共线的四点，，，满足，则 ______．
14.在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于______．
15.点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为______．
16.在平面内，若有，，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知长方体中，，分别是和的中点．
画出直线与平面的公共点保留辅助线，无需说明理由若，，，求异面直线与所成角的大小．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，．
若四边形是平行四边形，求点的坐标；
若点，，三点共线，且，求的值．
19.本小题分
已知向量，，．
求函数的单调递增区间和最小正周期；
若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
20.本小题分
九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点为四边形所在平面外一点，且平面，，点是的中点，连接、、．
证明：平面试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角只需写出结论；若不是，请说明理由；
若，，点在上运动，试求面积的最小值．
21.本小题分
通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
；
；
．
设，，求和．
由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
；
．
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明．
若，集合，对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立．
根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题不需要证明．
参考答案
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17.解：图形如下，
连接，
则，
又平面，
所以
所以是异面直线与所成角．
又，
在中，，，
即异面直线与所成角的大小为．
18.解：如图：
设点坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，
所以，
所以点坐标为；
因为点，，三点共线，且，
所以或，
当时，，
则，
当时，，
即，
综上，的值为或．
19.解：因为，
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以．
20.证明：因为平面，，点是的中点，
可得，而平面，
所以，
又因为，，
所以平面，
所以，
又因为，
所以平面；
解：因为，，点在上运动，
可得，为定值，且，
当时，则最小，此时的面积最小，
即与重合时，，此时，
即的面积的最小值为．
面积的最小值为．
21.解：因为，，
所以，
．
设，，，，，，，，
则，，故不成立，
，，，
，
因为，，
所以，故正确；
，
，，
设，，，，，，
则，，
，
所以，故，即错误；
设满足条件的，，，
则，
因为为任意的复数，不妨设且，
由定义可得，即，则，
所以，则，
以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，
不妨令，则，
则，
当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，
当且仅当时，取到最小值．
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