2023-2024学年四川省泸州高中附属学校九年级（下）第二次月考
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有理数的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下面合并同类项正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列图中所示的四个图案是四届冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.截止到今年月日，电影第二十条的累计票房达到了亿，亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.若一组数据，，，，，的平均数是，则众数是( )
A. B. C. D.
6.如图，是某公园的进口，，，是三个不同的出口，小明从处进入公园，那么从，，三个出口中恰好在出口出来的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图， 的周长为，的周长为，则对角线的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.下列方程没有实数根的是( )
A. B. C. D.
9.已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
10.已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是( )
A. B. C. D.
11.如图，矩形中，点，点分别是，的中点，交对角线于点，交于点则的值是( )
A.
B.
C.
D.
12.当时，二次函数有最大值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.方程的解是______．
14.分解因式： ．
15.已知，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
16.如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如图，矩形的对角线、相交于点，点、在上，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
20.本小题分
目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度态度分为：无所谓；基本赞成；赞成；反对并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题：
此次抽样调查中，共调查了多少名家长？
扇形统计图中所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整；
在此次调查活动中，初三班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这位家长申选位家长参加学校组织的家校话动，用列表法或西树状图的方法求选出的人来自不同班级的概率．
21.本小题分
某玩具批发市场、玩具的批发价分别为每件元和元，张阿姨花元购进、两种玩具若干件，并分别以每件元与元价格出售设购入玩具为件，玩具为件．
若张阿姨将玩具全部出售赚了元，那么张阿姨购进、型玩具各多少件？
若要求购进玩具的数量不得少于玩具的数量，则怎样分配购进玩具、的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
22.本小题分
一艘观光游船从港口处以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向．
求海警船距离事故船的距离．
若海警船以海里小时的速度前往救援，求海警船到达事故船处大约所需的时间．温馨提示：，
23.本小题分
如图点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交相于是．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求面积；
设轴上有一点，点是坐平面内一个动点，当以点，、，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点的标．
24.本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，于点，过点的切线交的延长线于点，连接．
求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，且点到轴的距离为．
求抛物线的解析式；
点为第一象限线段上一点，点为线段延长线上一点，点为轴下方抛物线上一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标；
在的条件下，为平面直角坐标系内一点，直线交直线于点，且，求出的值，并判断点是否在中的抛物线上．
参考答案
1.
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3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
．
18.解：原式
，
，
，
则原式．
19.解：在矩形中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
由可知：，
，
，
，
．
20.
21.解：由题意可得，
，
解得，．
答：张阿姨购进型玩具件，型玩具件；
设利润为元，
，
购进玩具的数量不得少于玩具的数量，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
故购进玩具、的数量均为件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为元．
22. 解：如图，过点作，交的延长线于点．
由题意，得，
，海里，
海里．
在中， ，
海里．
答：海警船到达事故船的距离为海里．
行驶时间为小时，
答：海警船到达事故船处大约所需的时间为 小时．
23.解：，是一次函数和反比例函数的交点，如图，
将代入中，得：，
，将代入，得，即，
将，代入，得：
，
解得：，
；
把代入得：，
解得：，
，
把代入得：，
，
；
设点的坐标为
，，，
当四边形为平行四边形时，
此时点经过平移得到点，点经过平移得到点，
，
解得：，
；
当四边形为平行四边形时，
此时点经过平移得到点，点经过平移得到点，
，
解得：
；
当四边形为平行四边形时，
此时点经过平移得到点，点经过平移得到点，
，
解得：
；
综上：当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或．
24.证明：，是的直径，
，
；
解：连接，
是的直径，
，
，
，
又，
∽，
，
，
设的半径为，
，
解得或负值舍去，
，
切于点，
，
，
，
∽，
，
即，
解得，
．
25.解：，
，由题意可得出：点的纵坐标为：，
，则，
解得；，
，
又，在抛物线上，
，
解得：，
抛物线；
如图，，
，
，
，
，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，
轴，设，
由得，，
点的坐标为：，
将代入抛物线，得，
解得：，，当时，与点重合，故舍去，
；
过点作交直线于，则，，
∽，
，
，，，
如图，当在点上方时，，
把点代入中，得，
解得：，
，
抛物线，
点在抛物线上；
如图，当点在点下方时，同理可得出：，
把点代入中，，
解得：，
，
抛物线，当时，，
点不在抛物线上．
综上所述在抛物线上．
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