西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试
高二数学试题
（时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若随机变量,则（ ）
A．0.15 B．0.3 C．0.35 D．0.7
3．随机变量X的分布列如下：
X 1 2
P a b
若,则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4．若的二项展开式中常数项为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
5．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A．96种 B．132种 C．168种 D．204种
6．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
7．质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则（ ）
A． B． C． D．
8．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前45项的和为（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
二、选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分．）
9．某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B,则（ ）
A． B． C． D．
10．2024年6月18日，很多商场都在搞促销活动．西安市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
x 90 95 100 105 110
y 11 10 8 6 5
用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是，相关系数,则下列说法正确的有（ ）
A．变量x与y负相关且相关性较强 B．
C．当时，y的估计值为13 D．相应于点的残差为
11．关于函数,下列判断正确的是（ ）．
A．是的极小值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k,使得恒成立
D．对任意两个正实数,且,若,则
三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在答题卡上的相应位置．）
12．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是___________种．
13．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为___________．
14．已知二项式的二项式系数和为32．给出下列四个结论：
① ②展开式中只有第三项的二项式系数最大
③展开式各项系数之和是243 ④展开式中的有理项有3项
其中，所有正确结论的序号是___________．
四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分8分）当前，以为代表的（利用技术内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱,我国的（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中中的个数为X,求X的分布列与期望．
16．（本小题满分8分）下表是某单位在2024年月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份x 1 2 3 4 5
用水量y 2.5 3 4 4.5 5.2
（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；
（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．
参考公式：对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
17．（本小题满分10分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）估计参与调查者的平均年龄；
（2）把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年组，若选出的这200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下列联表．请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年
中老年 10
合计 200
（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记这4人中“不关注民生问题”的人数为Y,求随机变量时的概率和随机变量Y的数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
18．（本小题满分10分）已知函数．
（1）若,求的极值；
（2）若函数恰有两个零点，求a的取值范围．
19．（本小题满分12分）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次模球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
（1）求的值；
（2）探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试
高二数学答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A A B C C B D A ACD ABD ABD
填空题
12．48 13． 14．①③④．
解答题
15．解：易知X的所有可能取值为0,1,2,3，
此时，， 4分
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
6分
此时． 8分
16．解：（1）从这5个月中任取2个月，包含的可能的情况有个，
其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的可能情况有以下4个：,
故所求概率． 4分
（2）由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程，
则由数据得
由公式计算得
,所以y关于x的经验回归方程为,
当时，得估计值，而
所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的． 8分
17．解：,
∴估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁． 3分
（2）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，第2组：人，
第3组：人，第4组：人，
第5组：人，
∴青少年组有人，中老年组有人，
∵参与调查者中关注此问题的约占80%，∴有人不关心民生问题，
∴选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，
列联表如下：
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
5分
零假设:假设关注民生问题与性别相互独立，
,
∴根据独立性检验，可以认为零假设不成立， 7分
即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关．
（3）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，
． 10分
18．解：（1）的定义域为,
当时，,令，得,
当时，;当时，,
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
又,故的极小值为1，无极大值； 4分
（2）由得，
，
当时，,所以在上单调递增，
则最多有一个零点，不合题意； 6分
当时，当时，,当时，,
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以：的极小值为, 8分
令,则
,所以在上单调递减，
又,
当时，，所以最多有一个零点，不合题意；
当时，,
所以当时，函数恰有两个零点， 10分
综上，a的取值范围是．
19．（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A,依题意，，．
6分
（2）因为,
所以,
所以，
所以， 8分
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故． 10分
证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，,则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大． 12分
